三相交流电机坐标变换仿真

樊战亭

（咸阳师范学院 物理与电子工程学院，陕西 咸阳 712000）

三相交流电动机具有结构简单、制造容易、维修工作量小等多种优点，逐渐取代部分直流电动机在生产生活中得到了广泛的应用[1]。三相交流电动机具有非线性、强耦合、多变量的性质，要求获得高动态调速性能，就要对电动机进行矢量控制等高精度控制，进行三相交流电动机坐标变换是进行交流电机控制重要组成部分之一[2-5]。本文主要讨论三相交流电机坐标变换的原理、公式，并用Simulink软件进行仿真，比较详细地给出仿真参数的设定、仿真结果的分析，能够为三相交流电机的坐标变换的理解和应用提供较好的参考。

1 三相交流电机坐标变换理论依据

三相交流电机坐标变换的目的是为了实现高性能的控制，针对三相定子励磁绕组进行坐标变换，借鉴直流电动机的控制方法。直流电动机因励磁绕组和电枢绕组相互垂直，对两者分别进行控制，容易实现对直流电动机高精度的控制。如果将三相交流电动机三个互差120°的三相绕组等效变换成类似直流电动机的励磁绕组与电枢绕组相互垂直的两相绕组模型，三相交流电机的分析和控制就会大大简化。

在三相交流电机静止三相绕组，通以三相对称的正弦交流电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势，并以同步转速（交流电的角频率）旋转。两个相位相差90°的绕组，通以幅值相同相位相差90°的正弦交流电流时，也会产生旋转磁动势[6]。因此，三相绕组可以用相互正交两相对称绕组等效，并且必须保证两种不同坐标下绕组所产生的合成磁动势相等。

2 三相交流电机坐标变换

把静止的三相交流电机坐标系转变为旋转的两相坐标系，先要把三相静止绕组变换到两相静止绕组，再把两相静止绕组变换到两相旋转正交绕组。

2.1 静止三相-静止两相变换

静止三相到静止两相磁动势的变换如图1所示。把静止三相绕组A、B、C变换到两相对称绕组α、β，两个坐标系原点重合，并使A轴和α轴重合。设三相及两相绕组每相有效匝数分别为N3、N2，iA、iB、iC分别静止ABC绕组中的交流电流，幅值相同、圆频率均为 ω1、相位相差120°。 iα、iβ为 α、β 轴中的电流，磁动势为有效匝数与电流的乘积，以逆时针旋转为正方向。

按照磁动势相等的等效原则，三相合成磁动势与两相合成磁动势相等，把A、B、C轴的磁动势分别分解到α、β轴有[7]

图1 静止三相和静止两相磁动势变换图

因为静止坐标变换由三相变换为两相取N3/N2=2/3[7]，可得

2.2 静止两相-旋转两相变换

静止两相到旋转两相的变换如图2所示。把静止两相对称绕组α、β磁动势分解到两相旋转绕组d、q轴，绕组每相有效匝数均为N2。静止两相交流电流为 iα、iβ，旋转两相电流id、iq产生同样以角速度ω1旋转的合成磁动势F，其中交流正弦电流iα、iβ的圆频率为 ω1。d、q轴为旋转坐标系，α轴与d轴的夹角φ为变量，夹角的导数为ω1，与电流iα、iβ的圆频率相同。

图2 静止两相和旋转两相磁动势变换图

按照磁动势相等的等效原则，并把匝数N2消去由图2可得

3 三相交流电机坐标变换建模

三相交流电机坐标变换的建模采用Simulink软件，Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具，基于MATLAB的框图设计环境，能够实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包[8-9]。在该环境中，无需大量书写程序，只要通过直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统，容易对仿真参数的设定和修改，能够实现输入、输出和中间变量的可视化。

三相交流电机坐标变换的建模主要通过公式（3）-（6）共四个公式来完成，其仿真模型如图3所示。图3中A、B、C为静止三相通入的交流电流，通过公式（3）（4）转变为静止两相α、β，再利用公式（5）（6）转换为两相旋转坐标d、q轴。α轴与d轴的旋转角度φ为

其中φ0为α轴与d轴的初始夹角，ω1与静止三相交流电流的圆频率及转向相关，t为仿真时间。进行仿真时，随着仿真时间增加φ不断变化就相当d、q轴在不断旋转。

整个坐标变换三相静止坐标输入三相电流图形能够通过示波器ABC观察，两相静止、两相旋转坐标系电流的输出分别通过示波器α-β、d-q查看。整个坐标变换仿真模型比较简单、直观、方便实现、易于观察结果。

图3 三相交流电机坐标变换仿真模型图

4 三相交流电机坐标变换仿真

三相交流电机静止三相绕组通以三相对称交流电流，产生的合成磁动势是以同步转速旋转的磁动势。仿真参数的设定要根据上述原理来进行，主要包括三相坐标电流、两相旋转坐标的旋转速度及方向、α轴与d轴的初始夹角等3部分参数设定。三相坐标电流必须设定为幅值相同、频率相同及初始相位角相差120°的对称交流电；两相旋转坐标的旋转角度ω1绝对值必须与三相坐标电流的频率相同，其正负由三相坐标电流初始相位由大变小的顺序方向确定；最后设定α轴与d轴的初始夹角。参数设定正确最终输出两相旋转电流（磁动势）为直流，否则输出电流不为旋转直流电流。

合成磁动势旋转方向是参数设定的重要问题，其方向由ABC静止三相通入对称三相交流电流的相位来确定，旋转方向是由三相交流电初始相位较大的相向相位较小的相进行旋转。如果设定iA=10sin(100πt)A 、iB=10sin(100πt-2π/3)A 和iC=10sin(100πt-4π/3)A 时，合成磁动势的旋转方向由A-B-C-A为逆时针旋转（正转），图3中的omega1应取100π（100*pi），与输入交流电流的圆频率相同。如果把iB、iC电流值进行互换，合成磁动势的旋转方向就变为A-C-B-A为顺时针（反转），则omega1要取值为-100π，绝对值与电流圆频率相同，由于反转取负值。

以正转为例进行仿真，iA、iB和iC取值同上述正转方向，omega1为旋转角速度100 π（50*2*pi），d轴与α轴起始角度φ0为零，取仿真时间设为0.06秒，仿真结果分别如图4、图5和图6所示。

图4 静止三相输入电流图

图5 静止两相输出电流图

图6起始角度为0时旋转两相输出电流图

图4 表示三相静止坐标系的交流电流（磁动势），3个正弦波分别表示iA、iB和iC3个静止坐标系通入三相对称交流电（磁动势），方向为A-B-C-A逆时针旋转。图5为静止两相输出电流（磁动势），表示把三相静止坐标系经变换后成为两相静止坐标系的电流（磁动势），其峰值为10 A，α轴上交流电流与iA相同，α轴电流相位超前β轴电流90°，合成电流（磁动势）方向为α-β-α也为逆时针，其圆频率与三相静止电流的圆频率均为100π，其幅值、频率及合成磁动势方向不变。图6表示静止两相交流电流（磁动势）经变换后成为旋转直流电流（磁动势），其中d轴输出电流为0，q轴输出电流为-10 A，并以100π/s的角速度逆时针旋转，坐标旋转速度与静止三相、静止两相的圆频率相同。

如果把α轴和d轴起始位置角度变为π/3，则静止两相输出电流不变，旋转两相输出电流如图7所示。图7表示旋转两相输出直流电流（磁动势）图，其中d轴输出电流为-8.66 A，q轴输出电流为-5A，以100 π/s的角速度逆时针旋转，坐标旋转速度与静止三相、静止两相的圆频率相同，旋转方向为逆时针。

图7 起始角度为π/3时旋转两相输出电流图

对比图6、图7直流电流输出，由于两者均表示旋转磁通势，并且旋转速度相同。分析在t趋近0+时情况，t趋近0+时，图6表示α轴和d轴重合，d轴电流为0，q轴为-10 A，合成电流（乘以匝数为磁动势）为10 A方向与q轴（β轴）负方向重合。因为三相交流输入不变，两相旋转直流输出不变，直流合成磁动势（合成电流）不变。图7表示把合成电流（β轴为-10 A）分解到与α轴夹角起始角度为π/3时的d、q轴上，会得到id=-8.66 A，iq=-5 A，与图7输出电流结果一致。如果取其他起始角度同样把β轴上的-10 A电流分解到与α轴相应夹角d、q轴就可得到相应的结果。当α轴与d轴夹角不同时，相同三相静止坐标通入三相对称交流电时，经过静止三相交流变换静止两相交流再到旋转两相直流，旋转两相d、q轴上直流电流（磁动势）是不同的，但是合成电流（磁动势）是相同的。在交流电机中d、q轴上不同直流会产生不同的输出转矩，在不同转矩负载时，保证电机在不同转速下平稳的运行，实现对交流电机比较高精度的控制。

5 结论

按照三相交流电机坐标变换磁动势不变的原则，推导出三相静止转换两相静止、两相静止转换两相旋转的电流关系。应用Simulink对两种变换进行建模，给出仿真参数的设定方法，分析了不同输入仿真结果。比较直观地证明ABC三相对称绕组通入三相对称交流电能够转换为α、β两相对称坐标轴通入两相对称交流电，最后变换成为在d、q轴通入直流电所产生的旋转磁场。能够较深入地说明三相交流电机坐标变换的原理、建模和结果，为交流电机矢量控制等高精度控制方法的应用打下较好的基础。