《矩阵与变换》教学探索与实践

◆周立军

一、课程内容介绍

高中数学《选修4-2矩阵与变换》中矩阵是线性代数研究的主要对象之一。变换是几何学中的基本内容之一。矩阵最早的产生是源于人们对图形变换和线性方程组求解的研究，随着数学学科的不断发展，人们发现矩阵在其他学科和领域有着广泛的应用，现在矩阵的知识已经广泛应用于计算机图形学、控制论、对策论、密码学等领域。本册书主要研究二阶矩阵和几何变换，并且把二者结合起来，使得矩阵知识得到一定的应用，为将来学生进一步学习矩阵理论做好铺垫。

本册书的知识结构简单概括为借用中学数学中有关的几何变换的知识引出二阶矩阵，并进一步研究二阶矩阵及其性质，同时反过来研究几何变换和线性方程组的求解问题。

二、如何学好《矩阵与变换》这门课

为了学好这门课，应该从三个指标两个方面着手，三个指标是指速度、效果、体验，这是有效课堂的三个指标，是始终贯穿在整个教学过程中的，如果把这三个指标都落实到位了，那么这个课堂就是高效课堂；应该从以下两个方面着手：一是上好新授课；二是加强应用教学。

一是上好新授课

三个指标中体验是最重要的，也是最能让老师们忽略的一项指标。在新授课的过程中一定要注重激发学生的学习热情，培养学生的自主探索与发现的精神，因为学习的精华是自主探索与发现的精神，这样的精神会让学生受益一生，这是高效学好新授课的关键，要求教师在教学过程中把握好每一个教学环节。

二是加强应用教学

1.时刻注意用所学知识解决日常学习中的疑难问题，培养学生的自主探索与发现的精神。

图1

以上案例是在学习对勾函数时，对于对勾函数是否是双曲线的问题一直困惑着学生。有人说它是对勾函数，有人说它不是，谁也说服不了谁，原因是，都没有一个让人信服的证明。当学完了矩阵的旋转变换后，和学生对这个问题进行了探索，结论是肯定的：对勾函数就是双曲线。这是其中的一位同学的证明过程（如图2）

图2

下面来简要解析一下这位同学的证明过程：设对勾函数图象绕对称中心逆时旋转θ角，经过矩阵运算与三角运算，当tan2θ=1时，就得到了双曲线的标准方程，比如，当时，就得到了标准方程是什么意思呢？那就是把对勾函数图象绕对称中心O逆时针旋转角得到标准方程为的双曲线，大家看到双曲线的顶点在y轴上且为

紧接着我们又进行了进一步的探索，比如：对勾函数取得最值时的点是否是这条双曲线的顶点？结论是否定的，如果是的话，那就应该逆时针旋转角φ，而，而这条双曲线是对勾函数的图象逆时针旋转了角得到，而，所以对勾函数取得最值时的点应该在双曲线顶点右侧。至此，疑惑学生很长时间的一个难题得以解决了，学生很兴奋。通过这样的教学环节，让学生体会到所学知识是有价值的，增强学生的成就感，从而激发学习兴趣，培养学生的自主探索与发现的精神，同时强化学生应用数学知识的意识。

2.加强用所学知识解决生活中的问题

我们知道在日常生活中，信息的加密是一个很重要的问题。

【案例2】短信风波：记得在一次上课前，我给有些学生发一条短信，短信的内容如下：“28，36，15，29，30，49“这6个数，学生百思不得其解，一头雾水。上课后，要求同学们把这6个数按顺序两个两个组合，然后通过矩阵运算一下；然后再把所得结果按顺序排列好：“20，8，1，11，14，19”；然后，再把26个英文字母与1—26个自然数一一对应排列好(如下表)

A 1 N 1 4 B 2 O 1 5 C 3 P 1 6 D 4 Q 1 7 E 5 R 1 8 F 6 S 1 9 G 7 T 2 0 H 8 U 2 1 I 9 V 2 2 J K L M 10 W 23 11 X 24 12 Y 25 13 Z 26

然后，再分别找到各数对应着的字母。当学生得到答案时恍然大悟。紧接着，我问到“我是如何把20，8，1，11，14，19这6个数转成28，36，15，29，30，49的？”，同学们很快回答到是用矩阵的逆矩阵运算得来的。我接着要求，每位同学编一段加密短信。这个教学环节就在玩的过程中度过了。至此，矩阵知识在密码学中关于信息编码和解码理论中的应用给学生留下了深刻的印象。

通过以上授课方式，从高效课堂的学习速度、学习效果、学习体验三个方面来看，我们把学习热情注入到了孩子们的心灵深处，点燃激情，唤醒梦想，树立信心，使知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个层面有机地整合在一起并且达到和谐发展的目的，课堂充满了活力，呈现出生气勃勃的局面。学生不仅仅收获了数学知识，更重要的是收获了激情、收获了兴趣、收获了严谨的科学态度，收获了锲而不舍的探索精神，学生在享受数学。