数学实验活动的理论与教学设计研究

广东省华南师范大学数学科学学院(510631) 张佳淳

1 数学教育新兴方式：数学实验活动

1.1 数学实验活动

数学不仅是写与算,而是具有经验与演绎二重性的科学.由于数学的高度抽象性,学生难以在现实中找到数学知识的原型,缺乏经验积累,更难要求他们能深入到对数学概念原理的本质认识.数学实验活动让学生通过动手实操、自主探究、合作交流学习数学,体验“做中学”的乐趣.

参考波利亚对“数学实验”的解释,“数学实验活动”是指：在一定的数学(学习、研究、发现)目标的指导下,让学生借助一定的工具、仪器和技术手段,对具有一定数学意义的实物、模型、事物,以及数字、图形等,进行观察、测试、度量、计算等数学化操作,经历“再发现”过程,以获取感性认识和数学信息．[1]

这种界定是从实验对象、实验条件、实验手段、实验目的等作了明确说明.参考曹一鸣先生提出的高中数学实验教学模式,将其概括为五个环节：创设实验情境-实验与活动-归纳与猜想-思考与验证-应用与拓展.[2]

1.2 支持数学实验活动的判据

1.2.1 基于数学实验活动在科学探究中的作用

高斯曾经说过,他研究数学的方法是通过实验.[3]实验活动为科学探究提供了脚手架,学生难以像真正的数学家一样,自主发现和经历科学探究的过程,而数学活动为科学探究创设了机会,学生在教师预先设计好的实验情境和目标下,循序渐进地模仿数学家经历科学探究的一系列过程,在其中体验失败与成功.

1.2.2 基于教育学的说明

弗赖登塔尔认为,学习数学核心是实现“再创造”,学生本人把要学的东西去发现或再创造出来,教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造,而不是把现成知识灌输给学生.数学实验中,学生是一系列工作的主体,教师只是提供了问题情境,剩下的经学生自己去发现,学生没有被约束在知识体系内,可以大胆地进行实验猜想,可以用自己知识体系和基础技能去分析,在过程中由于不受限制,可以充分发挥创造力.

杜威提出“从做中学”的基本原则,儿童天生就有一种要做事和要工作的愿望,对活动具有强烈兴趣.数学实验活动能调动学生兴趣,提供学生参与教学活动、展示自我的机会.在做中学能加深对新知的印象,通过实践操作抽象出数学概念,从而掌握概念本质.

1.2.3 基于心理学的说明

建构主义认为,知识不是通过教师传授得到,而是学习者在一定的情境下,借助其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助和必要的学习资料,通过意义建构的方式获得.数学实验中,教师创设问题情境,要求学生在数学实验活动过程中主动参与观察、讨论、思考,自主构建关于新知的知识体系.因此,在数学实验教学中,教师运用发现法、探究法等教学方法,学生用数学的观点形成数学表征,用数学的方法进行问题解决,在活动中进行数学构建.[3]

皮亚杰认为,形成主体认知结构的基础是“动作”.作为认识主体的儿童自身的思维结构,是在与客体相互作用的过程中逐步建立和完善,所以他的理论被称作是一个动态的“建构”理论.数学实验中,学生基于自己的实验操作,产生自己经历过的“动作”,发生顺应,即改变已有图式来理解新知识,用顺应后的图示去同化操作,及利用已有图式解释新经验,从而进行动态的认知建构.

情境认知强调学习、知识和智慧的情境性,知识不能脱离活动情境而抽象地存在,学习应与情境化的社会实践活动结合起来.数学实验活动着重情境认知的过程,使学生在特定情境中引入学习主题,冲着特定目标设计实验活动,在特定环境中进行有效率的学习.

1.2.4 基于现代数学的发展

数学的现代发展,不仅表现在现代数学的新领域和高层次中,还大量地表现为用数学的观点、方法、工具,来研究原来数学领域和层次中的理论,和解决现实世界中复杂的数学问题.[4]数学实验活动的出发点正是让学生用数学的观点发现、思考、解决实际问题,在实际情境中提炼出问题的本质,能在误差允许范围内得到符合实际的结果,并尝试将结论进行拓展延伸.

1.3 数学实验活动的基本特征

在《普通高中数学课程标准》(2017年,简称“新课标”)中也体现了对活动经验的重视.课程目标中提出的“四基”就包含基本活动经验.数学学科核心素养也包含了对数学活动经验及情境认知的要求：

结合新课标中的种种描述,归纳数学实验活动的基本特征：

(1)活动过程的情境性和探究性

将学生置于他熟悉的生活情境中,会感到亲切而乐于接受,打破其对于数学“难”的心理防线.情境的创设忌生搬硬套,需大部分学生可能亲身经历过,否则弄巧成拙.例如,关于相交弦定理的教学,有些教师利用环城公路的交叉设计使得每段公路被交点所截后的两部分乘积相等创设情境,不仅不贴近学生实际生活,还显得不真实.

数学实验活动的教学常常是教师通过问题链的方式,引导学生独立完成或小组合作,问题形式多样,期间可以包含多个开放性问题,具有很强的探究性.

(2)学生主体的参与性和创新性

不同于传统教学,在活动过程中学生充分发挥其主体作用.学生的参与性决定了数学实验活动课的效率,积极配合的小组会自主地按照要求进行探究,而学生的创新性决定了数学实验课的深度,当学生程度达到较高的水平,才能有更多意外的收获并进行进一步研究.

(3)实验结论的抽象性和应用性

区别于物化生的实验,更重视实验真实结果,一般会得到物质成果,而数学实验注重从数学活动中抽象出数学模型,更注重在实验过程中涉及的数学思想方法,将其上升为可以“以一敌百”的数学思维.

每一个数学活动结束后,学生利用积累的数学思想以及数学模型,可以应用到更多地方,用于解决实际问题,所以数学实验活动的结论具有较强的应用性.

2 二面角的平面角教学设计

2.1 选题背景

“二面角及其平面角”选自高中数学人教A版必修二2.3.2节,是立体几何的三类空间角中最重要、最难理解的概念.二面角的平面角概念的形成过程比较抽象,学生没有这方面的思维知识.

在新课标关于立体几何初步的教学提示中,有以下描述：帮助学生认识空间几何体的结构特征,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能;教师可以指导和帮助学生选择一些立体几何问题作为数学探究活动的课题.

2.2 原教学过程

教材中直接给二面角的平面角的概念,指出二面角的大小可以用它的平面角度量,但没解释为什么二面角的平面角是这样刻画,也没解释为什么就能用二面角的平面角度量二面角大小.所以教师在教学过程中,没解释二面角的平面角形成过程的来龙去脉,学生只需记住二面角平面角的刻画方式以解决习题中的问题.

这导致学生对二面角、二面角的平面角两个概念模糊不清,2011年上海松江区特级教师阮晓明老师等对松江区内的全体高中数学教师及四所高中的部分高三学生进行了调查.对教师的调查结果显示,在高中数学十大难点概念中,二面角排名第七,理由是如下：(1)缺乏空间想象力,做不出二面角;(2)将“两个半平面”误读为“两个平面”;(3)不理解二面角的大小为什么要用其平面角的大小来度量;(4)缺乏作二面角的方法(教学课时删减有关).对学生的调查结果显示,二面角在十大难点概念的学习中排名第一,理由是空间想象能力差、难以直观地看出;不会做二面角的平面角、二面角找不到;分不清何时为锐角和钝角.[8]

2.3 基于数学实验活动的新教学设计

2.3.1 实验工具

镜子、手电筒、笔记本、笔、卡纸;

2.3.2 实验过程及设计意图

根据曹一鸣先生的五个环节设计如下.

(1)创设实验情境(3min)

利用镜子,感受二面角“大小”变化.思考：二面角也有大小的连续变化,如何度量其大小呢?

图1

设计意图通过创设情境引入二面角的度量.

(2)实验与活动(17min)

[1]联系之前所学两种空间角：异面直线所成角和线面角的度量方式.异面直线通过平移而线面角通过投影得到平面角.那二面角能否通过某种方式转化得到平面角呢?

设计意图 联系其他空间角的度量,想到将二面角转化为平面角是度量的关键,渗透转化与化归的数学思想.

[2]用卡纸制作二面角模型,操作你手中的二面角模型,从不同角度观察模型,思考从什么角度观察时眼睛可以看到一个“平面角”?

图2

设计意图学生通过实际眼睛看到平面角,感受数学活动的魅力,提升学生对数学的兴趣.而当眼睛与棱重合时才能看到平面角,这需要教师试情况进行提示.

[3]我们在1.2.1“中心投影与平行投影”已学过视觉成像属于中心投影,如何把眼睛看到的这个“平面角”显现出来呢?需要什么工具?什么可以代替视线形成中心投影?

设计意图根据原理思考,培养学生数学建模素养,学会用数学的视角发现解决问题,积累数学实践的经验.而投影操作是学生在之前三视图、线面角测量时都接触过,利用最近发展区理论,学生将已学过的经验用于新的实践.

[4]利用手电筒、二面角模型和成像的屏幕(投影面),找到三个工具合适的相对位置,使得到的投影和眼睛看到的平面角一致：

投影面与地面___;二面角模型的棱与投影面___;手电筒光线与投影面____;手电筒光线与二面角模型的棱____.

思考：为什么当三种工具位置满足以上条件时,二面角的投影就是需要转化出的平面角.

图3

设计意图在实验中观察分析,感悟数学与现实间的联系.学生需要得到手电筒光线与投影面垂直,而二面角模型的棱与投影面垂直,所以线段的正投影是点,而半平面的投影则是线,因此能投影得到平面角.

[5]但每次都通过投影度量二面角难免麻烦,想象投影面可以移动直至切到二面角模型上,这时就将平面角放到了模型上,即平面角能存在于二面角模型上.那么平面角顶点和两边如何确定呢?

思考：角的顶点落在什么位置?角的射线落在什么位置?角的两边与棱有什么关系?角的顶点是固定的吗?

图4

设计意图从操作情境中进行抽象概括,得到背后的数学关系.这里学生需概括得到角的顶点落在棱上,两射线分别落在两个半平面上且垂直于棱.角的顶点不是固定的.

(3)归纳与猜想(2min)

二面角的大小可用以下角刻画：在二面角α-l-β的棱上____一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作___于棱l的射线OA和OB构成的∠AOB叫做___.其大小范围是____.

设计意图培养数学抽象素养,使学生从实验活动中抽象出数学概念,并用数学语言予以表征,由此获得概念完成新知构建.

(4)思考与验证(10min)

[1]将翻开的笔记本两个面看作两个半平面,两支笔看作角的两边,找到顶点在棱上,两边在两个面内的角,满足这个条件的角大小是否唯一?

图5

通过实验发现,满足条件的角存在且有无穷多个,但大小____.因此角不能仅满足“顶点在棱上,两边在两个面内”,否则二面角的大小将无法说清.

[2]在无穷多个角的情形中,作图方便明确的是如图6(a)的情形,即___,和使两射线与棱夹角相等的情形,如图6(b)所示.

图6 (a)

图6 (b)

[3]用笔和尺子在二面角模型上作图,过棱上一点O作两条射线OB和OA,都与棱l成某一个固定的θ角(0°＜θ＜90°)(OB和OA都向同一个方向倾斜).

用皮筋将两支笔一端固定住,将固定住的一端放到O上,将两支笔分别放到OA、OB上,位置确定后,将两支笔抽出,和二面角模型的张开大小进行比较,发现两支笔所成角比二面角模型的角度____.

图7

设计意图验证二面角的平面角的定义合理性,如果不做垂直于棱的射线,也能得到平面角,但角的大小随射线位置的变化会发生变化,这样得到的角大小不具有唯一性,而二面角的大小是唯一的,垂直或当两条射线与棱夹角都成θ时得到的角度都具有唯一性.但成θ时角度不符合二面角大小,不能用来度量.验证垂直的必须.

(5)应用与拓展(8min)

通过做题使学生用定义法找出二面角的平面角,加深对概念的理解.再抛出问题：能否想到二面角平角面的其他定义方式?小组查阅资料进行学习.

3 关于数学实验活动的思考

数学实验活动融入教学仍在尝试阶段,这种教学形式的开展需要根据学生层次及能力进行调整,教师应积极尝试,给学生探究发现的机会,让他们走过数学家经历的路跌过的坑,才能真正懂得数学怎么来.另一方面,活动的设计应淡化形式注重内容本身,形式只是载体,一堂热热闹闹的课不意味着好课,让学生更好地认识教学内容的实质才是活动设计的终点.

最后,感谢华南师范大学数学科学学院姚静老师对设计和论文写作的指导.