例谈初中数学概念教学

黄平

摘要：数学概念是进行推理、判断、證明的依据，是建立定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。因此，概念教学在数学教学中有着重要的地位和作用。然而，在实际教学中，概念教学并没有引起教师的足够重视。当然，更谈不上对学生思维素质的培养。教师应针对不同的学习内容，巧妙地设计概念“生长”的过程，引导学生自然地构建数学概念，掌握数学概念的本质。这样，学生才能把握数学的知识性，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。

关键词：初中数学；概念；教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-0100

无论采用什么方式进行概念教学，高效的数学概念教学都应该遵循“概念的引入——概念的生成——概念的表示——概念的辨析——概念的巩固——概念的提升”这几个基本环节，现结合教学案例进行说明。

一、概念的引入

《数学课程标准》要求：数学概念的教学要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械性记忆概念的学习方法。因此，概念的教学不是单纯的记忆和模仿，而是在教师的引导下主动，从事观察、实验、猜想、验证、交流等数学活动的过程，让学生经历对概念由感性到理性的认识过程。

案例1：对于“相交线”内容

学生对相交线、平行线一定不陌生。大桥上的钢梁和钢索，棋盘上的横线和竖线，笔直的高速公路……都给我们以相交线、平行线的形象。从这一章开始我们正式开始研究平面内不重合的两条直线的位置关系。

问题1：同学们能想象出一把剪刀剪开物体的示意图吗？你能说清其中的道理吗？

问题2：仔细观察你所画的图形（图1），当两条直线相交时所形成的四个角中，∠1和∠2有怎样的位置关系？

二、概念的生成

平行四边形与各种特殊平行四边形之间的区别与联系是“四边形”教学中的难点之一，解决这个难点的关键是搞好概念教学，帮助学生弄清这些概念之间的关系。下面是笔者在进行“矩形”的教学时，引导学生在实验探究中生成概念的教学尝试。

案例2：对于“矩形”的概念教学

师：请同学们拿出准备好的学具（两长两短的四根木条、小钉、橡皮筋等）制作一个四边形，使等长的木条成为对边，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，作为四边形的对角线（如图2）。

师：请大家观察，这属于哪种四边形。

生1：这是平行四边形，因为它的两组对边分别相等

师：改变这个平行四边形的形状。在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？这些图形具有哪些相同的性质？（学生动手操作改变平行四边形的形状，教师演示教具）

生2：无论怎么改变这个四边形的形状，它一直是一个平行四边形。因为这个四边形的两组对边始终分别相等。（如图3）

生3：由平行四边形的性质可以知道，这些平行四边形的对边平行、对角相等、对角线互相平分、邻角互补，都是中心对称图形……

师：想一想，在改变图形形状的过程中，有哪些量发生了变化？

生4：平行四边形内角的大小、对角线的长度都发生了变化。

生5：平行四边形的面积也发生了变化。

师：很好！同学们观察得很仔细，思考得很认真。你们能具体说一说在改变平行四边形形状的过程中，它的四个内角的变化吗？

生6：在上面图3中，在改变平行四边形形状的过程中∠A和∠C的度数逐渐增大，先由锐角变成了直角，再由直角变成了钝角。∠B和∠D的度数逐渐减小，先由钝角变成了直角，再由直角变成了锐角。

师：请大家继续思考以下三个问题：

1. 当∠A是直角时，平行四边形的其他三个内角的度数分别是多少？

2. 当∠A是直角时，两条对角线的长度关系如何？

3. 随着∠A的变化，平行四边形的面积发生了怎样的变化？

生7：当∠A是直角时，平行四边形的其他三个内角都是90°，也就是说，平行四边形的四个内角均为直角。

生8：当∠A是直角时，平行四边形的两条对角线不仅互相平分，而且相等。

生9：在图3中，随着∠A的变化，平行四边形的面积先由小变大，再由大变小。当平行四边形的两邻边互相垂直时，其面积最大。因为当平行四边形的底边固定时，面积的大小取决于高的大小……

师：在改变平行四边形的形状的过程中，我们发现当平行四边形的一个内角为直角时，除了原有的性质，它还具有其他一些特殊的性质。这是一种特殊的平行四边形，也就是小学时所认识的长方形。今天给它取一个新的名字——矩形。

三、概念的表示

概念的表示即为给概念下定义的过程。学生对概念的本质属性理解透彻后，就需要进行整理，一般用文字语言来阐述，但为了记忆与使用方便，数学概念还要用符号语言进行表示，文字语言重在对概念的内涵进行语言方面的阐述，可尽量让学生用自己的话小结，而符号语言则体现数学的简约美，一般是约定俗成的，由教师给出。

案例3：对于“锐角三角函数”内容

问题：如图4，当锐角A的度数确定时，∠A的对边与斜边的比值■确定吗（AB=c，BC=a）

追问1：当锐角A的度数变化时■变化吗？

追问2：锐角A与■在变化中的对应关系属于我们所学过的什么关系？

生1：函数关系。

追问3：这种函数关系如何说明？

生2：比值■是∠A的函数。

师：（小结）这种函数关系是锐角三角函数中的一个，我们称之为正弦函数，记作sinA.即sinA=■.（通过教师的引导，学生用自己的话小结为比值■是∠A的函数，教师再给出符号语言，直观地说明了sinA是∠A的正弦函数）。

四、概念的辨析

在教師的引导下，学生通过对概念内涵的分析、比较、综合理解，对概念的特点已初步理解，教师归纳后，学生也能准确地描述概念，但要达到准确地掌握概念的本质属性，教师还要从不同的角度辅助学生对概念进行辨析。

案例4：已知关于x的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a=____。

错解为：0或2

原因分析：从表面上看，学生在解此类问题时，易犯错误的原因是对一元二次方程概念认识的模糊，忘记一元二次方程存在的基本条件是“二次项系数不能为0”，而实际上是学生对这一类问题的概念认识不清。之前在学习一元一次方程ax+b=0和一次函数y=kx+b时，学生就容易忘记“a≠0”和“k≠0”的限制条件；在学习分式时，也容易忘记“分母不为0”的限制条件。学生在此题出现错解是这类错误的延续。如果纠错不到位，那么在以后学习二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和反比例函数y=■（k≠0）时，学生还会出现同样的错误。因此，必须重视这类错误的纠正。

五、概念的提升

概念教学的育人功能在于对核心概念的教学过程中，让学生探索并总结数学学习的规律，归纳发现数学知识的方法，领悟数学学习过程中所体现的数学思想。概念教学是很好的数学思想方法的承载体。

案例5：问题：怎样在数轴上表示■和-■？

（1）如果在图上画一条数轴以小正方形的边长为一个单位长（如图5），那么这一正方形的对角线为■个单位长，能否将■个单位长表示在数轴上呢？

（2）用尺测量可以，但总有误差。还有其他方法吗？

（3）很好，我们以原点为圆心，■为半径画圆，与数轴相交于两点，这两点表示为多少呢？（这两点表示■和-■）。

通过探索无理数在数轴上的表示，从而推理得到实数与数轴上的点一一对应的过程是无理数概念的深化，促进学生对无理数的进一步理解。

教无定法，但贵在得法。数学概念的教学也没有固定的方法，但基本上遵循以上流程。笔者认为，数学概念的教学是一切数学知识教学、能力培养的基础，教师一定要站在培养学生数学素质的高度上重视概念教学，优化概念教学设计，确保概念教学的有效性，让学生在经历概念产生的过程中，感悟其中蕴含的数学思想、掌握数学方法。

（作者单位：浙江省诸暨市陶朱初中 311800）