引导多思深思 提高数学思维素质

蔡永康

（石狮市第一中学，福建 石狮 362 70 0）

心理学家吉乐福特把创新能力解析为六个主要成份，即敏感性、流畅性、灵活性、洞察性、再定义性、独创性。这六大成份，无一不与思维素质密切相关;而思维素质的训练，总离不开思维广度的拓展与思维深度的开掘。从这个意义上来说，充分利用教材，引导学生多思广思，在思维训练过程中不断提高思维素质，以求达成创新能力的培养，这是素质教育的呼唤，是每个教育教学工作者所应负的重要使命。对此，文章仅取“一题多思”和“一题深思”的角度作狭义例析。

一、一题多思，激活思维，培养思维的敏感性、流畅性和灵活性

思维的敏感性、流畅性、灵活性，即指容易接受新事物，发现新问题;思维敏捷、反应迅速、对特定的问题情境能顺利产生多种反应或提出多种答案;具有较强的应变能力和适应性，具有灵活改变定向的能力。

在课堂教学中，结合具体问题情境，不失时机地引导学生从多角度、多层次去观察、分析问题，有意识地寻求多种途径去探讨同一问题，在熟练掌握常规方法的基础上力求创新，有所突破，将有助于提高思维的敏感性、流畅性和灵活性。

题一:求sin210°+cos240°+sin10°·cos40°的值。

一般思路:从局部观察，式中有3个二次三角式，都可利用三角公式变为一次式，接着再经过合并和变形转化，就解决了问题，即:

这种解法，只是按常规的降维思维，经过和差化积、积化和差的相互变换实现求解目的。这是一般层次的教学。

高一些层次，即着眼于思维能力得到进一步训练的教学，则应当充分利用现有教材的题例，引导学生变换观察和思维角度，鼓励多思，尽可能挖掘教材内在的思维训练因素，使教学情境呈现多元化的思维图象。分析如下:

事实上:

其中，式①有可视为勾股定理的结构，式②有可视为余弦定理的结构。这就拓宽了我们的解题思路，由此生发出多种解题方案:

［方案一］利用勾股定理的特殊结构和题中隐含的特殊角的关40°-10°=30°系进行变形转化，可得到下面解法：

［方案二］利用余弦定理的特殊结构进行转化，可得：

这实际上就在无形中产生了将学生思维从“数”向“形”转化的可能，由此改变了思维的方向。我们可以从形的角度去思考，激活学生的思维，诱发他们的探求的欲望。

作 出 三 角 形ABC，使AC=sin10°,BC=cos40°,∠ACD=120°

可以看到：

图1

图2

这就实现了数形的转化。但从“形”上仍不能看出原式的值是多少，若将③④式进行对比，促进学生把正弦定理代入④，得到另一个三角函数式：

为了消除⑤③的差异，不妨作出三角形ABC的外接圆，设外接圆直径CD=1，（如图2），从而易知AB=sin120°。

上述过程，概括地说，是一个由数而形，由形获值，多次发散，由浅入深的思维训练过程。我们还可以继续推进：

反思“方案二”的解题思路及所产生的结论，注意到cos40°=sin50°，于是③式可化为sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°=sin120°……⑥（这是图1中所涉及量价的关系式，是对图1内在边角关系的具体描述），实质上就是余弦定理的三角形式：sin2C=sin2A+sin2B-2sinA·sinB·cosC教学过程至此，学生将豁然领悟，顿足而呼：“早知直接运用这个余弦定理的三角式，问题不就迎刃而解了吗？”

的确，利用余弦定理三角式，可以获得如式⑥那样简捷优美的解法，简化了整个“方案二”的思维过程；而“方案二”的教学过程功不可没，它深化了学生对余弦定理三角式的认识，进一步完善了学生的认知结构，顿时使课堂充满了活力和激情，灵感的火花达到一触即发的境界。

于是，教师因势利导，让学生再从图2去观察获取：不但在三角形ABC中应用余弦定理可求AB2，在三角形ABC中运用余弦定理同样可以求得AB2。

观察原式与⑦式，不难发现这两个式子是“一对”对偶式。于是，利用配对法又开始了新的认知：

这样，学生从中享受到一题多思的乐趣，从而产生新的更高的学习要求，教学中的思维训练有了良好的动机背景。

上述教例展示了这样一个事实：不失时机地引导一题多思，即通过对题目的特征、解题的思路、问题的结论等进行观察、联想、试验，不断调整观察、思考的角度、方式，以新的观点去看待思考的对象，分析解决所研究的问题，可以事半功倍地开发学生固有的、潜在的解题智慧，培养学生敏感、流畅、灵活的思维品质。

二、一题深思，推进思维，培养思维的洞察性、再定义性和独创性

洞察性、再定义性和独创性是在一般思维素质的基础上发展起来的，是思维不断深刻而产生质的飞跃的结晶。在教学过程中，教师应精心设计问题情境和教学方法，引导学生开展类比、对比、分析、归纳、联想等一系列思维活动，鼓励他们大胆提出教学猜想和创见，使学生不断获取“独创”的“成果”，将有利于提高创造性思维能力。

题二：已知a＞b＞c＞0，求证

对这一习题，学生首先想到的是左边通分，然后证明分子、分母都小于零，这种解法比较繁琐。高中学生正处于思维发展时期，一般地说他们不会满足于这样就能解题结束了。教师利用学生的这种求异求精心理，可以因势利导引出：

思考一：能否设法将尽可能多的分母化成单项式，以简化运算过程？学生解题方案如示：

求异求精实质在于创新。当学生对上述证法获取一定的感性认识时，教师可进一步推出——

思考二：能否直接利用a-b,a-c,b-c的关系直接证明呢？学生通过直觉思维易于发现：a-b＞bc＞0从而得出：

即证。

观察和探索是知觉和思维相互渗透的复杂的认知活动，不断地将观察到的事物和已知或假说进行联系思考，就易于发现新线索。到此教师可以引导学生作更深一层的思考。

设a＞b＞c，是否存在最大的正数K，使恒成立？如果存在，求出正数的最大值；如果不存在，请说明理由。分析如下：因为a-c＞0，所以原不等式等价于通过类比，联想到基本不等式：对于是有：

[(a-b)+(b-c)]这 里 ，ab＞0,b-c＞0）当月仅当a+c=2b时等号成立，所以原不等式恒成立的实数K的最大值是4。

思维的深刻度达到一定程度时，就能见人所未见，发人所未发，情境如下：

这则教例给我们树立了一种信心：洞察能力、再定义能力、独创能力，并非什么神秘莫测的东西，更不是专属高智商人群所独有的心智现象；同样，培养学生思维的洞察性、再定义性和独创性，也并非高不可攀的目标，即使不依托专门的先进教材背景，依然可以有所作为。只要能充分利用现有教材，善于发掘教材的潜在功能，敢于并善于在教材题例的变形、解题途径的开辟、求解结论的引申、联想激情的调动等方面提出大胆积极的假想，并附之富有深究性和激励性的教学试验，那么，在数学教学中实现这思维“三性”的培养，便不是可望而不可及的。