二次根式的“穿墙术”

周娟

有一则神话，讲的是茅山道士有“穿墙之术”，该法术可以让其视墙壁为空气而随意进出.神话未必真实，但数学中的“穿墙术”却真实存在，不妨一起来看一看.

去括号法则：-（a+b）=-a-b.这里我们可以认为负号穿过了括号分别与a、b作用，让每一项变成其相反数.

负数的奇数次幂：（-a）2n+1=-a2n+1.由幂的定义，可知括号内的符号可以随意进出括号，然而这一点对于偶数次幂却不成立.

奇数次方根：[2n+1-a=-2n+1a].和上面类似，负号可以任意进出根号，但对偶次方根不成立，因为负数没有偶数次方根.

以上是一些浅显的例子，下面要说的是二次根式的“穿墙术”.

先看一些例子：[223=223]，[338=338]，[4415=4415]……不难发现，根号内带分数的整数部分可以“钻”到根号外面去，颇有趣味，然而这一点并非对任何数都成立，如[323=113≠323].

于是我们期望找出具有“穿墙术”的一般带分数的例子，即求这样的带分数：[acb]，使得[a+cb=acb]，其中a、b、c都是正整数，而且b>c，b、c互质.根据条件，有[ab+cb=a2cb]，即ab+c=a2c，ab=c（a2-1），∵b>c，且b、c互质，故a=c，b=a2-1.若記a=c=n，则b=n2-1，故满足条件的分数为n+[nn2-1]，且有[n+nn2-1=nnn2-1]（n≥2）.

可以发现，当n取正整数时，这样的带分数有无数个，我们在一般意义上解决了二次根式的“穿墙术”问题.以上结果可以看作一个公式.

我们进一步考虑一个类似的问题：形如[a-cb=acb]的二次根式应该具有什么特征呢？由上式得[ab-cb=a2cb]，即ab-c=a2c，ab=c（a2+1），由于b、c互质，b>c.故a=c，b=a2+1.若记a=c=n，则b=n2+1，因此具有以上性质的二次根式具有以下形式：[n-nn2+1=nnn2+1]，其中n为正整数.

文章开头的故事里，有个年轻人向茅山道士学会了“穿墙术”，结果有一次忘了念口诀，在墙上碰得头破血流.到这里，给我们的启发是：做事情（尤其是做数学题）要言之有据，不可轻率行事，否则就会“碰到南墙”，这也是学习科学知识必备的素质——严谨.

（摘编作者单位：江苏省句容市石狮中学）