APP下载

二次根式的“穿墙术”

2018-09-10周娟

初中生世界·八年级 2018年7期
关键词:带分数负号互质

周娟

有一则神话,讲的是茅山道士有“穿墙之术”,该法术可以让其视墙壁为空气而随意进出.神话未必真实,但数学中的“穿墙术”却真实存在,不妨一起来看一看.

去括号法则:-(a+b)=-a-b.这里我们可以认为负号穿过了括号分别与a、b作用,让每一项变成其相反数.

负数的奇数次幂:(-a)2n+1=-a2n+1.由幂的定义,可知括号内的符号可以随意进出括号,然而这一点对于偶数次幂却不成立.

奇数次方根:[2n+1-a=-2n+1a].和上面类似,负号可以任意进出根号,但对偶次方根不成立,因为负数没有偶数次方根.

以上是一些浅显的例子,下面要说的是二次根式的“穿墙术”.

先看一些例子:[223=223],[338=338],[4415=4415]……不难发现,根号内带分数的整数部分可以“钻”到根号外面去,颇有趣味,然而这一点并非对任何数都成立,如[323=113≠323].

于是我们期望找出具有“穿墙术”的一般带分数的例子,即求这样的带分数:[acb],使得[a+cb=acb],其中a、b、c都是正整数,而且b>c,b、c互质.根据条件,有[ab+cb=a2cb],即ab+c=a2c,ab=c(a2-1),∵b>c,且b、c互质,故a=c,b=a2-1.若記a=c=n,则b=n2-1,故满足条件的分数为n+[nn2-1],且有[n+nn2-1=nnn2-1](n≥2).

可以发现,当n取正整数时,这样的带分数有无数个,我们在一般意义上解决了二次根式的“穿墙术”问题.以上结果可以看作一个公式.

我们进一步考虑一个类似的问题:形如[a-cb=acb]的二次根式应该具有什么特征呢?由上式得[ab-cb=a2cb],即ab-c=a2c,ab=c(a2+1),由于b、c互质,b>c.故a=c,b=a2+1.若记a=c=n,则b=n2+1,因此具有以上性质的二次根式具有以下形式:[n-nn2+1=nnn2+1],其中n为正整数.

文章开头的故事里,有个年轻人向茅山道士学会了“穿墙术”,结果有一次忘了念口诀,在墙上碰得头破血流.到这里,给我们的启发是:做事情(尤其是做数学题)要言之有据,不可轻率行事,否则就会“碰到南墙”,这也是学习科学知识必备的素质——严谨.

(摘编作者单位:江苏省句容市石狮中学)

猜你喜欢

带分数负号互质
基于互质阵列的信号波达方向估计算法
关于“负零”的理解和教学
带分数Brown运动和局部线性增长的随机微分方程
带分数的简便运算
真分数和假分数
“负号”计算题中的拦路虎
处理好“会变脸”的负号,激发七年级学生的数学兴趣
Short-range Radar Detection with(M,N)-Coprime Array Configurations
不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+xz)的解及其性质
一个定理的证明及其应用