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2018-09-10江苏省常州市第二十四中学殷爱梅

学苑教育 2018年17期

关键词：棱柱反比例矩形

江苏省常州市第二十四中学殷爱梅

例1、我们在初中学过，如图1，在线段AB上，存在一点C，若满足则称点C是线段AB的黄金分割点。

图1

注：从线段的比例中项或者形如一元二次方程x2+x-1=0都可以得到在各类题目中经常出现，可直接应用，从线段推广到多边形，有黄金三角形，黄金矩形，正五边形等，黄金分割点给人以美感，在正五边形中，则有更美妙的式子和图形。

例2、如图2，在正五边形中，连接各对角线，得到五角星和黄金三角形，记黄

图2

同时点F是线段GE的黄金分割点，点G是线段BF的黄金分割点。

有 BE∶BF∶BG∶GF=1∶K∶K2∶K3，在这个美妙的式子背后，包含着多个黄金三角形如锐角三角形AGF和钝角三角形AFE等。

二、中考中的黄金比问题及拓展

在中考中，出现了一些黄金比的问题，下面从两个例子来看看。

例 3（2017宿迁中考）、如图 3，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y=k（k 为常数，k＞0，x＞0）的图像x上，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转 90°得到矩形 AB′O′C′，若点 O 的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，

图3

分析：本题中反比例函数的图像在第一象限，可由图像上点的横坐标与纵坐标的乘积是定值k入手，再由旋转图形对应线段的不变形，可得出方程，解出即可。

∴CA·AB=CB′·BC′。

∵矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转 90°得到矩形 AB′O′C′，

∴AB=AB′，CA=AC′，

∴CA·AB′= （CA+AB′）·（AB′-AC）=AB′2-AC2。

注：解出的结果是黄金比，从而说明矩形ABOC是黄金矩形。本题巧妙之处是反比例函数与黄金矩形的综合应用。可变式如下：

例 4、（2017宿迁中考）如图 4-1，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点 D，联结 OA、OC。

（1）求证：△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为 S1、S2、S3，如果 S2是 S1和 S3的比例中项，求OD的长。

图4-1

图4-2

图4-3

图4-4

分析：（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由 OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由 ∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；

解：（1）在△AOB和△AOC 中，

∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，

∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．

分析：（2）如图 4-2中，当△OCD 是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题；

解：（2）如图4-2中，∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，

分析：（3）如图 4-3中，作 OH⊥AC，垂足为点H，设 OD=x，先得出 AD2=AC·CD，这就是线段的比例中项公式，进而得出AD与AC的关系，再利用相似三角形的性质，进行转化即可解决问题；

解：（3）∵OA=OC，∴ ∠OAC= ∠C=∠B，

∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．

如图4-3中，作OH⊥AC，垂足为点H，设 OD=x。

∵S2是S1和S3的比例中项，△AOB≌△AOC，

化简得 AD2=AC·DC，可得 AD=

注：本题第（1）、（2）小题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，是为第（3）小题铺垫，第（3）小题是题目的亮点，出现的是面积的比例中项，题目比较新颖，我们以前只学过线段的比例中项问题，所以解题的关键是运用转化的思想方法，要设法转化为线段的比例中项问题，从而根据黄金比，避免了大计算量，这种方法构思巧妙。另外，由面积的比例中项，我们可联想到体积的比例中项，故可变式如下：

如图4—4，在直三棱柱A1B1C1-A2B2C2中，D1、D2分别为棱 B1C1、B2C2上的点，且D1D2∥A1A2，棱柱被分成两部份，记A1B1D1-A2B2D2、A1C1D1-A2C2D2、A1B1C1-A2B2C2的体积分别为V1、V2和V，如果V1是V2和V的比例中项，且B2C2=2，求B2D2的长。

分析：由体积的比例中项先转化为面积的比例中项，再转化为线段的比例中项即可求解。