利用不变量化简二次曲线方程*

常家文 韩 洁 胡 婷

(扬州大学数学科学学院,225002)

一、二次曲线的不变量

二次曲线在直角坐标系下的方程为

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0.

①

设在直角坐标变换

②

下,方程①变为

③

则称关于方程系数的非常值函数I为二次曲线的不变量,如果

④

引入以下几个函数:

I1=a11+a22,

⑤

⑥

⑦

直接计算可知I1,I2,I3是二次曲线的不变量[2].

二、利用不变量化简二次曲线方程

首先,利用旋转变换

⑧

可以消去二次曲线方程①中的交叉乘积项.事实上,将⑧代入①得到新方程中的交叉乘积项系数为

⑨

⑩

可以化简一次项和常数项.例如,方程中如果出现某个元的平方项,则可用移轴变换消去相应的一次项;方程中如果出现一次项,则可用移轴变换消去常数项.

于是，经过直角坐标变换,任意二次曲线方程总能化为如下三个简化方程中的一种:

上述简化方程中的系数可以用二次曲线的不变量表示出来.这是因为,对于情形1,由于

λ2-I1λ+I2=0

其中λ1,λ2是特征方程的两个根.

对于情形2,由于

由于情形3是退化二次曲线,这里略去讨论.

三、应用举例

下面给出几个用不变量化简二次曲线方程的例子.

例1化简二次曲线方程

3x2-2xy+3y2+4x+4y-4=0.

解因为

所以特征方程为λ2-6λ+8=0,

所以曲线方程可化为2x′2+4y′2-8=0,

例2化简二次曲线方程

x2+6xy+y2+6x+2y-1=0.

例3化简二次曲线方程

x2-4xy+4y2+2x-2y-1=0.

应用不变量化简二次曲线方程，虽然没有在中学教材中提出明确要求,但作为教师,在遇到此类问题并且化简较为繁琐时,可先行利用这一方法求出正确结果,再去按图索骥,将会事半功倍．