转化思想

【内容摘要】转化思想是高中数学基本思想方法。转化思想的运用对提升学生解题能力有很大的帮助，本文以例题的形式介绍转化思想在高中数学解题中的具体应用。

【关键词】转化思想高中数学解题

一、问题的提出

在高中数学的学习过程中，解题是提升学生能力最重要的手段。但笔者发现学生解题过程中经常会出现以下几种状况：（1）学生对于老师在课堂上讲过的题目，稍微改动就不会做了。（2）学生只懂得循规蹈矩答题，只懂得死算，经常是费时费力还算不出来。（3）有多种解题方法，学生却选择最繁琐的方法。这几种现象主要是什么原因造成的呢？笔者认为那是学生没能领会数学解题的本质，未能真正掌握数学解题的灵魂。

二、数学解题的本质与灵魂

解题有两个特征：（1）所有数学问题都是由已知条件和要解决的目标两部分组成。（2）所有数学解题都是在探求已知条件和目标之间的一条通道。因此，数学解题的本质就是在探求已知条件和目标之间的联系通道[1]。题目中的已知条件和目标自然是显而易见的，关键是如何寻求联系的通道。世界著名数学家雅洁在《什么叫解题》中指出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”。可以这样讲，学会了转化，也就懂得了如何解题。因此，笔者认为转化思想是高中数学解题的灵魂。

三、什么是转化思想

转化的思想方法是高中数学基本的思想方法。数形结合思想可以看成数与形的转化，函数与方程思想可以看成是函数、方程、不等式之间的相互转化，而分类讨论的思想却可以看成是部分与整体之间的转化[2]。转化思想是指在研究解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法[3]。其方向一般是化复杂为简单，化困难为容易，化陌生为熟悉，化未知为已知，化抽象为直观。转化的过程简单的说就是将待解的问题A，通过某种手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对容易解决或已经解决或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可得到原问题A的解答。转化的方式和手段灵活多样，而扎实的基础知识是实现转化的前提。下文就以例题的形式来说明转化思想的具体应用。

四、转化思想的具体应用

1.一般与特殊的转化

例1：已知e1→e2→是平面单位向量，且e1→e2→=12，若平面向量a→满足a→e1→=a→e2→=1则a→=。

分析：本题如果把e1→e2→及a→用坐标来表示，按照题意列方程，则运算量比较大，计算困难，但如果能找到满足e1→e2→=12的平面单位向量e1→e2→，以特殊代替一般，则计算变得简单。

略解：由e1→e2→=12得e1→e2→的夹解为π3，所以不妨设e1→=（1，0），e2→=（12，32），a→=（x，y）

则由a→e1→=a→e2→=1得x=1，y=33故a→=（1，33）

把一般的问题特殊化，使问题处理起来变得更加直接简单。有一些选择填空题，当题目条件是可变的，但结论却是一个定值，遇到这种情况就可以把题中变化的量用特殊值代替，很快可解出答案。

2.数与形的转化

例2：设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=。

分析：本题是含参数的不等式问题，要通过不等式直接求解，根本无从下手，但通过观察发现，不等式由两部分相乘，一部分可看成为一次函数，一部分可看成为二次函数，通过对这两种简单函数图象进行分析，则更容易得到答案。

略解：函数y=（a-1）x-1和y=x2-ax-1的图像均过点（0，-1），为使两函数值相乘大于等于0，则这两函数的另一个公共点在x轴上。如图所示容易得到a=32

本解法充分体现了数向形转化所带来的好处，问题变得直观，解题也变得更加容易。正所谓数缺形时少直观，形缺数时难入微。此解法充分体现数与形相互转化的强大魅力。

3.函数与方程转化

例3：设a>0，b>0，则以下满足的是（）

A.若2a+2a=2b+3b，则a>b

B.若2a+2a=2b+3b，则a

C.若2a-2a=2b-3b，则a>b

D.若2a-2a=2b-3b，则a

分析：本题要根据一个方程，来比较两个未知数的大小，按照解方程特点，我们知道一个方程并不能求出两个未知数，因此，想求未知数再比较大小是完全行不通的。由于观察到方程两边式子类似，想到把方程转化为函数，并利用函数的单调性来求解。

略解：令f（x）= 2x+2x，显然f（x）是单调递增函数，由f（a）- f（b） >0可得a>b.所以选择A。

本题题目中的方程没办法解，这时就要想到转化，方程要么转化成函数，要么转化成不等式，转化成函数就可利用函数的性质，转化成不等式则经常与求最值、求参数的取值范围相联系。

4.主元与次元的转化

例4：对于满足0≤p≤4的所有实数p，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，则x的取值范围是。

分析：本题如果把x看成主元，p为参数的一元二次不等式，则在求解过程中要对p进行讨论，过程比较麻烦。但如果把p看成主元，则计算变得简洁。

解：设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，则当x=1时，f（p）=0所以x≠1。

f（p）在0≤p≤4上恒正，等价于f（0）>0，f（4）>0 解得x>3或x<-1

本題主元与次元的转化正是打破人的习惯性思维，认为 就是表示未知数，而其它字母则表示参变量或常量。

5.正与反的转化

例5：若对于任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+（m2+2）x2-2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是。

分析：函数在区间总不为单调函数，按照题干正面来解题，要分成比较多的情况进行讨论，十分麻烦，但若能从问题的反面入手，则一切变得简单明了。

略解：（1）g'（x）=3x2（m+4）x-2，若g（x）在区间（t，3）上总为单调函数，

则①g'（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g'（x）≤0在（t，3）上恒成立。

由①得可得m≥-5；由②可得m≤-373

∴可得m的取值范围为 （-373，-5）

本题体现的是正面与反面的转化，由于正面有多种情况，可以先求出反面，体现“正难则反”的转化思想。

6.局部与整体的转化

例6：函数 y=sin（2x-π3）的图像，只需把函数y=sin（2x+π6） 的图像（）

A.向左平移π4个长度单位

B.向右平移π4个长度单位

C.向左平移π2个长度单位

D.向右平移π2个长度单位

分析：本题是三角函数图像平移的内容，题目不难，但基本功不扎实的同学对于常规解法容易犯迷糊，如果对于三解函数名不同的图像平移，更是头痛，其实如果注意到整体图像平移的距离其实就是局部点平移的距离，那问题就可以解决了。

解：y=sin（2x+π6）的图像→y=sin（2x-π3）的图像

令2x+π6=π2得x=π6，令2x-π3=π2，得x=5π12

得原点附近的最高点（π6，1）向右平移π4个单位→（5π12，1）

（∵5π12>π6，∴图像向右移动，且平移距离为5π12-π6=π4）

本题的解法正是利用了整体与局部之间的转化，整体由局部构成，局部与整体的步调是一致的，因此研究局部的性质可以得到整体的性质，是所谓的“窥一斑而知全豹”。

结束语

高中学生要提升数学解题的能力，绝对不能单纯的记忆、模仿，不能机械的训练、做题，一定要重视数学思想方法，特别是转化的思想在解题中的运用。要懂得把数学问题按几种转化的原则进行解题操作，在转化思想的指引下，定能在解题实践中提高解题效率，从而提升数学解题能力。

【参考文献】

[1]劉卓雄.论数学解题的本质以及它在数学解题中的应用[J].数学通讯（下半月），2016（1）：29-31

[2]罗胜莲.也谈运用转化方法解题[J].数理化解理研究（数学篇），2012（7）：11-12

[3]林新建.思想立意将数学解题臻于完美[M].吉林出版社，2016.9

作者简介：蔡维琛（1981.09-），男，福建晋江，现任晋江市毓英中学教务处副主任，中学一级教师。曾获晋江市高中数学命卷比赛一等奖，曾被评为“晋江市师德先进个人”，多次被评为学校年度优秀教师、优秀班主任.

（作者单位：福建省晋江市毓英中学）