关于特征标线性极限的若干结果

常学武，赵静，靳平

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

设G为任意一个有限群,N◁G为G的正规子群,并且ψ∈Irr(G)为N的一个不可约复特征标。按照Dade和Loukaki在文献[1]中的术语,则称T=(G,N,ψ)为一个三元组。文献[1]引入了三元组T的线性约化和线性极限等一系列基本概念,主要结果是证明了T的所有线性极限都是等价的,相关概念和结果我们将在下节给予简介。

事实上,三元组的极限理论产生于研究M-群的正规子群的单项性问题。熟知M-群是可解群中非常重要的一类群,其不可约特征标都是单项的,即均可从子群的线性特征标诱导得到。关于M-群还有很多重要的问题和猜想至今尚未得以解决,其中最著名的也许是1967年Dornhoff 在[2]中提出了关于M-群的两个猜想:

(1)M-群的正规子群均为M-群

(2)M-群的Hall子群均为M-群

迄今为止,这两个猜想激发了关于单项特征标的很多深刻的研究,并取得了若干重要结果。首先是1973年Dade在[3]中构造了一个反例,指出了偶数阶M-群的正规子群可以不是M-群。进而,在2005年Fukushima在[4]中也找到了反例,说明M-群的Hall子群也可以不是M-群。目前尚未找到奇数阶群的正规子群反例,但有很多阶段性结果支持上述猜想(1)很可能对奇数阶群是成立的,即奇数阶M-群的正规子群仍为M-群。特别值得一提的是,Loukaki在博士论文[5]中证明了当群G的阶恰能被两个奇素数整除时,则该猜想成立。但证明相当复杂,长达200多页。为此,Loukaki于2006年在[6]中发表了一个特殊情形的证明,而Lewis同年在[7]中也发表了一个相对简单的证明。

为了找到更为简单的证明,Dade和Loukaki在2004年创立了特征标的线性极限理论,得到了线性极限的等价性,给出了Loukaki的M-群定理的巨大简化,核心思想是证明相关的三元组具有幂零的线性极限。我们发现线性极限是一种有效的特征标证明技术还可以用来改进和推广关于M-群的许多经典结果,见文献[8]。此外,在[9]中将上述三元组的线性极限,推广到Isaacs的特征标五元组,并获得了关于单项性和双曲性的若干结论。

本文重点考察一个给定的三元组T=(G,N,ψ)的线性极限T′=(G′,N′,ψ′),通过引入该三元组的Fitting子三元组T*=(G,N*,ψ*),我们证明了所谓三元组T的线性约化,本质上只能是对其Fitting子三元组T*做线性约化,通过研究T*,即可获得当T没有幂零的线性极限时,相应的极限截面N′/Z(T′)具有的很强结构信息。特别是其中蕴含着一个反迷向的可控的Isaacs特征标五元组Ce,具体内容见本文主要定理1。事实上,本文主要结果是得到了关于三元组线性极限的更为精细的结构定理,作为应用,给出了Dade著名的单项特征标定理的一个加强,见定理2。

本文使用的群论和特征标符号见[10],但群G的导群或称换位子群记为[G,G],我们将用G′表示另外一个群。

1 预备知识

为读者方便,本节给出关于三元组线性极限的若干基本概念和结果,相关内容参考[1]。

固定一个三元组T=(G,N,ψ),即N◁G,并且ψ∈Irr(G),我们引入相关的定义。

·T的中心Z(T),定义为Z(ψG),在不引起混淆时,可记为Z。

·T的中心特征标ζ(T),即ψ(G)在Z(T)上限制的唯一的不可约分量,显然是G-不变的线性特征标,简记为ζ,我们称(Z,ζ)为T的中心特征标对。事实上,不难证明三元组的中心Z是包含在N中的G的唯一极大正规子群,使得ψ∈Irr(N)在Z上的限制为一个G-不变的线性特征标的倍数。

·T的核Ker(T),定义为Ker(ψG)=CoreG(Kerψ)=Ker(ζ).如果Ker(T)=1，等价于说中心特征标ζ是忠实的,则称T是一个忠实的三元组。

·T的截面,定义为N/Z(T)=N/Z.

·T的线性约化:任取正规子群L◁G和线性特征标λ∈Irr(L),使得L≤N且λ在ψ的下方。我们记T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ),称T(λ)为T的一个线性约化,其中Gλ表示λ在G中的惯性群Nλ=N∩Gλ为λ在N中的惯性群ψλ表示ψ关于λ的Clifford对应。相关的特征标见图1。

(N,ψ)→NGλ→G

Ind ↑ ↑

(L,λ)→ (Nλ,ψλ)→Gλ

Fig.1 Linear reduction

图1 线性约化

·T的线性极限:记T0=T,设T1=T(λ)为T的一个线性约化,再做T1的一个线性约化T2=T1(λ1),重复该过程可得到一个线性约化序列:

T=T0,T1,…,Tn=T′

称T′为T的一个多重线性约化。如果T′没有真线性约化,亦即T′的每个线性约化只能是其自身,则称T′为T的一个线性极限。

·T的幂零性:如果T的截面N/Z(T)是幂零群,则称T为幂零的。如果T有一个线性极限T′,其截面是幂零群,则称T有一个幂零的线性极限。

一个三元组T可以有很多线性极限,根据文献[1]的主定理,可知所有的线性极限都是等价的。在此我们不拟给出关于线性极限等价性的复杂定义,我们仅仅强调一个较弱的结论:即一个三元组的任意两个线性极限,都具有同构的截面,即极限截面是三元组的线性约化不变量。特别地,据此可知如果三元组T的一个线性极限是幂零的,则其所有的线性极限都是幂零的。

我们需要判别一个三元组何时是线性不可约的,即其每个线性约化只能是自身。

引理1 设T=(G,N,ψ)为一个三元组,则T是线性不可约的当且仅当Z(T)/Ker(T)是G/Ker(T)的包含在N/Ker(T)中的唯一极大交换正规子群。特别地,此时Z(T)/Ker(T)是N/Ker(T)的中心。

证明见文献[1]中命题3.10。

在证明本文主要定理时,我们需要下述著名的Thompson定理,描述了如何从互素群作用环境中产生一个超特殊p-群,其证明可以参考任何一本标准的群论专著。

引理2 (Thompson)。设群A互素地作用在p-群P≠1上,使得[P,A]=P。如果A中心化P的每个交换特征子群,则下述成立:

(1)P′=Φ(P)=Z(P)=CP(A)为初等交换p-群,即P为非交换特殊p-群；

(2)如果Z(P)循环,则P还是一个超特殊的p-群；

(3)如果p>2,则P的方次数exp(P)=p.

我们给出Isaacs特征标五元组C=(G,K,L,θ,φ)的定义,即L≤K均为G的正规子群使得K/L为交换群φ∈Irr(L)和θ∈Irr(K)均为G-不变的,并且相互完全分歧,即θL=eφ且φK=eθ,其中e2=|K∶L|。特征标五元组是研究可解群特征标时经常出现的基本环境,具有很多有用的结论,可参考相关的经典文献[11]。

最后,在给出Dade单项特征标定理的加强时,我们需要使用深刻的Dade双曲模定理,相关定义和证明,可见[12]中定理3.2。

引理3 (Dade)设F为有限域,特征为奇素数p，G为一个p-可解群，V是一个辛FG-模，并且H≤G具有p幂指数。如果V是双曲的FH-模,则V也是双曲的FG-模。

2 主要结果

我们先引入一个三元组的Fitting子组的概念

设T=(G,N,ψ)为任意三元组,记N*/Ker(T)=F(N/Ker(T)),则N*◁G.任取ψ在N*的一个不可约分量ψ*,则称三元组T*=(G,N*,ψ*)为T的一个Fitting子三元组,或简称为T的一个Fitting子组。

根据Clifford定理,则ψ*的不同选取相差一个N-共轭,故T的所有Fitting子组彼此是N-共轭的,即共轭唯一。下述结果表明,对一个三元组T所做的线性约化,本质上发生在其一个Fitting子组T*的内部,其实是对该子组所做的线性约化。

命题1 设T=(G,N,ψ)为任意三元组T*=(G,N*,ψ*)为T的一个Fitting子组,任取L◁G和线性特征标λ∈Irr(L),使得L≤N且λ在ψ下方,则L≤N*,并且做适当的共轭替换后,可要求λ在ψ*的下方。由此表明T的线性约化T(λ)可由T*的线性约化T*(λ)唯一决定,特别地，T是线性不可约的当且仅当T*也是线性不可约的。

证明因为λ为线性特征标,故导群[L,L]≤Ker(λ)。显然[L,L]◁G且λ在ψ下方,根据Clifford定理,可知CoreG(Ker(λ))≤Ker(ψ),所以

[L,L]≤CoreG(Ker(λ))≤CoreG(Ker(ψ))=Ker(T).

据此可知L/Ker(T)为交换群,故包含在N/Ker(T)的Fitting子群里,按定义即L≤N*。因为ψ*在ψ的下方,而λ的N-共轭不改变线性极限的等价性,做适当的共轭替换后,可进一步要求λ在ψ*的下方,此时又可做T*的线性约化T*(λ),根据[1]中命题4.5,则T(λ)可由所谓的T*(λ)-对应唯一决定。最后,按定义T是线性不可约的当且仅当其每个线性约化T(λ)=T,亦即λ是G-不变的,显然也等价于T*是线性不可约的。

定理1 设T=(G,N,ψ)是一个线性不可约的三元组,令(Z,ζ)为T的中心特征标对。再假设T是忠实的，G为可解群,并且N为非交换群。则下述结论成立:

(1)Z=Z(F(N))

(2)ζ在F(N)上完全分歧。设γ∈Irr(F(N)|ζ),三元组T*=(G,F(N),γ)也是线性不可约的,此时T*恰为T的一个Fitting子组,并且

C=(G,F(N),Z,γ,ζ)

为一个反迷向的Isaacs特征标五元组。

(3)对|F(N):Z|的每个素因子p,则Op(N)为广义超特殊p-群。特别地，F(N)/Z的每个Sylow子群均为初等交换群。

(4)如果T不是幂零的三元组,亦即N/Z不幂零,则存在一个反迷向的特征标五元组。

Ce=(G,E,Z(E),η,λ)

其中E◁G是一个超特殊p-子群,对某个素数p，λ∈Irr(Z(E))在ψ下方,并η∈Irr(E|λ)也在ψ下方。进而,存在一个p′-子群S≤F(N),使得ES◁G且CE/Z(E)(S)=1,即Ce还是一个可控的特征标五元组。如图2所示。

(E,η)→EZ→F(N)→ (N,ψ)→G

FR↑ ↑ ↑

(Z(E),λ)→Z------------------→NG(S)

Fig.2 Controlled character-five

图2 可控五元组

其中G=ENG(S),并且E∩NG(S)=CE(S)=E∩Z=Z(E).

证明(1)因为T是线性不可约的,并且中心特征标Ker(ζ)=Ker(T)=1,根据引理1,则G的每个交换正规子群A,如果包含在N中,则必然包含在Z中。特别地,由于Z(F(N))≤N是N的交换特征子群,而N◁G,故Z(F(N))显然也是G的交换正规子群,所以Z(F(N))≤Z。另一方面,注意到T的忠实性意味着ζ是忠实的G-不变的线性特征标,迫使Z≤Z(G),更有Z≤Z(F(N)),故二者相等。

按假设G是可解群,故N也可解,现在N非交换,所以N>Z,即N/Z为非平凡的可解群,熟知其Fitting子群F(N/Z)>1.但Z≤Z(G)∩N≤Z(N),故F(N)/Z=F(N/Z)>1,所以Z

如果F(N)/Z不是交换群,由于Z=Z(F(N)),则F(N)的幂零类大于2。假设F(N)的幂零类为n,按定义F(N)n+1=1但F(N)n>1,在此我们使用记号F(N)i表示F(N)的下中心列的第i项,即F(N)i=[F(N),…,F(N)]为i个F(N)做换位子。考虑该下中心列的倒数第三项F(N)n-1,一方面,根据多重换位子性质,可知[F(N)n-1,F(N)n-1]≤F(N)2n-2,但n≥3,故2n-2≥n+1,表明F(N)2n-2≤F(N)n+1=1,即F(N)n-1是N的交换子群,显然还是特征子群。另一方面,根据T的线性不可约假设,可知F(N)n-1≤Z=Z(F(N)),此时

F(N)n=[F(N)n-1,F(N)]≤[Z(F(N)),F(N)]=1

矛盾,由此即证F(N)/Z为交换群。

(2)因为T是忠实的三元组,等价于说ζ∈Irr(Z)是忠实的线性特征标,任取γ∈Irr(F(N))在ζ的上方,根据(1)可知Z(F(N))=Z,则

Kerγ∩Z(F(N))=Kerγ∩Z=Kerζ=1.

熟知幂零群的非平凡正规子群必然与中心子群有非平凡的交,迫使Kerγ=1,即γ也是忠实的,此时Z(γ)=Z(F(N))=Z,再从(1)中结论F(N)/Z为交换群,使用[10]中定理2.31,可知ζ在F(N)上完全分歧。按定义,则C=(G,F(N),Z,γ,ζ)即为一个Isaacs意义下的特征标五元组。

验证T*=(G,F(N),γ)也是线性不可约的三元组。事实上,任取L◁G和线性特征标λ∈Lin(L),使得λ在γ∈Irr(F(N))的下方。因为γ显然在ψ∈Irr(N)的下方,故λ也在ψ的下方。但已知T是线性不可约的,即相应的线性约化T(λ)=T,故λ为G-不变的,自然也是F(N)-不变的,此时相应的线性约化T*(λ)=T*,表明T*是线性不可约的。

最后验证C是反迷向的特征标五元组。熟知F(N)/Z在特征标ζ定义的辛型下构成一个辛G-模,具体定义见[11]中第2节,任取F(N)/Z的一个迷向G-子模A/Z,则A◁G,并且ζ可扩张到A上,设α∈Irr(A)是ζ的一个扩张,则α亦为线性特征标。但上段已证T*是线性不可约的,故ζ是G-不变的。注意到Kerα∩Z=Kerζ=1,而A显然是幂零群,所以Kerα=1,即α也是忠实的,迫使A是G的交换正规子群,仍从T*线性不可约可知A≤Z,即A/Z=1,表明特征标五元组C是反迷向的。

(3)因为N的Fitting子群可表为F(N)=Op1(N)×…×Opr(N),其中pi为两两不同的素数,并且每个Opi(N)>1,此时

Z=Z(F(N))=Z(Op1(N))×…×Z(Opr(N))

并且每个Z(Opi(N))=Z∩Opi(N)>1,所以对|F(N)/Z|的每个素因子p,我们有

Op(N)Z/Z≅Op(N)/(Op(N)∩Z2)=Op(N)/Z(Op(N)).

根据(2)可知F(N)/Z是反迷向的G-模,其子模Op(N)Z/Z也是反迷向G-模,此时每个单子模不是全迷向的,故为辛子模,从而有正交补,据此可知反迷向的模均为半单模,而每个单子模显然没有非平凡的特征子群,故均为初等交换群,所以Op(N)Z/Z为初等交换p-群,表明Op(N)/Z(Op(N))也是初等交换p-群。又因为Z是循环群,故其子群Z(Op(N))≤Z也循环按定义即知Op(N)为广义超特殊p-群。再根据上述直积分解公式,可知

F(N)/Z=Op1(N)/Z(Op1(N))×…×Opr(N)/Z(Opr(N)),

其中每个Sylow子群Opi(N)/Z(Opi(N))均为初等交换pi-群。

(4)根据三元组幂零性的定义,可知N/Z不是幂零群,但T的忠实性假设蕴含Z≤Z(G),故T的非幂零性条件在此等价于N不是幂零群,亦即F(N)

Op(N)=COP(N)(S)E◁G.

注意到M的所有p-补均与S共轭,根据Frattini推理,则G=MNG(S)=ENG(S)。因为NG(S)正规化S,自然也正规化E=[Op(N),S],所以E◁G。进而,从Z(E)是G的交换正规子群且包含在N中,以及T线性不可约,可知Z(E)≤Z,迫使Z(E)=E∩Z=CE(S)◁G。同理可知E的每个交换特征子群均含于Z≤Z(G),故可被S中心化,根据著名的Thompson定理,见引理2,则E为超特殊p-群。设ψ在Z(E)上的唯一不可约分量为λ,则λ显然在ζ∈Irr(Z)的下方,故也是忠实的,迫使λ在E上完全分歧,即λE具有唯一的不可约分量η,自动在ψ下方,至此我们得到一个特征标五元组。

Ce=(G,E,Z(E),η,λ).

验证Ce是可控的。因为S互素地作用在E上,满足[E,S]=E,但E/Z(E)为交换群,从Fitting引理可知CE/Z(E)(S)=1。上述已证ES◁G,按定义即知S是Ce的一个可控子群,所以Ce=(G,E,Z(E),η,λ)是一个可控的特征标五元组。

验证C*是反迷向的。任取E/Z(E)的一个迷向的G-子模A/Z(E),因为λ是忠实的线性特征标,在此A/Z(E)为迷向的G-子模显然等价于A是G的交换正规子群且Z(E)≤A≤E。据此可知AZ也是G的交换正规子群,并且Z≤AZ≤F(N),同样从ζ∈Irr(Z)为忠实的线性特征标可知AZ/Z也是F(N)/Z的一个迷向的G-模。但(2)已证C是反迷向的,只有AZ/Z=1,即A≤Z,导致A≤Z∩E=Z(E),即证A/Z(E)=1,表明Ce是一个反迷向的特征标五元组。

作为定理1的一个主要应用,我们给出著名的Dade单项特征标定理(即[12]中主定理)的一个加强。

定理2 设T=(G,N,ψ)为一个三元组,其中G为可解群,并且存在一个单项特征标χ∈Irr(G|ψ),使得χ(1)为某个奇素数p的幂,则T有一个幂零的线性极限。

证明用反证法,假设T没有幂零的线性极限。因为三元组的线性约化不改变上方特征标的单项性,不失一般性,可设T本身是线性不可约的。进而,我们可进一步要求T是忠实的三元组,并不改变定理的条件和所证结论,故可使用定理1中的结论(4)及其符号

因为χ是单项特征标,按定义,存在子群J≤G和线性特征标δ∈Irr(J)使得δG=χ。又因为χ在ψ的上方,从而也在λ∈Irr(Z(E))的上方,但Z(E)≤Z≤Z(G),迫使Z(E)≤J。已知χ(1)为p的幂,故|G∶J|亦为p的幂,表明J包含G的一个Hallp′-子群,把J做适当共轭替换后,可设p′-子群S≤J。再令H=EJ,则得到特征标五元组Ce的一个子五元组。

C′=(H,E,Z(E),η,λ).

如果E∩J=Z(E),则J是C′的一个补。但S≤J≤H,从Ce的可控性可知C′也是可控的,从而有共轭唯一的补,即所有的补均与J共轭。又因为η(1)可整除χ(1),故E/Z(E)为同一个奇素数p的幂,表明J也是C′的一个好补,导致δEJ必然是可约的,与δG=χ不可约矛盾,所以E∩J>Z(E)。

注意到线性特征标δ∈Irr(J)是λ∈Irr(Z(E))的扩张,故δE∩J也是λ的扩张,但λ是忠实的,迫使E∩J为交换群,此时(E∩J)/Z(E)>1即为一个非平凡的迷向的H-子模。再从δH不可约,不难验证(E∩J)/Z(E)在辛H-模E/Z(E)中是自正交的(亦可直接使用[3]中引理4.4和推论4.8),按定义,则E/Z(E)即为一个双曲的H-模。但|G∶H|整除χ(1),故为奇素数p的幂,根据Dade双曲模定理,见引理3,则E/Z(E)也是双曲的G-模,又矛盾于E/Z(E)是反迷向的G-模。至此即证T有一个幂零的线性极限。

据此可推出Dade单项特征标定理,值得指出的是,尽管Dade定理考虑的是较为一般的p-可解群,但最重要的应用环境还是可解群。事实上,对定理1的证明稍加修正,可将可解群条件减弱为p-可解群,我们不需要这个稍微一般些的结论。

推论1 (Dade)设G为可解群,χ∈Irr(G)为一个单项特征标,使得χ(1)为某个奇素数p的幂。如果N◁G,任取ψ∈Irr(N)在χ下方,则ψ也是单项特征标。

证明考虑三元组T=(G,N,ψ),上述已证T有一个幂零线性极限T′=(G′,N′,ψ′),按定义即N′/Ker(T′)为幂零群,但ψ′可视为N′/Ker(T′)的不可约特征标,而幂零群为M-群故ψ′为单项的。再从ψ=(ψ′)N可知ψ也是单项的。