突出选拔评价功能，导向核心素养教学——2018年浙江省杭州市中考数学试题评析与思考

☉浙江省宁波市四眼碶中学 潘小梅

2018年，浙江省各地市仍然实施独立命题.仔细赏析和研究2018年杭州市中考数学试题，笔者认为杭州中考卷具有“突出选拔评价功能，导向核心素养教学”的命题立意，从以下几个方面和各位同行分享交流.

一、试题总体评析

1.创新考查数学基础知识和基本技能

2018年杭州市中考数学学科考试时间100分钟，试卷共23题总分120分，其中选择题10题共30分，填空题6题共24分，解答题7题共66分.通过这三种题型，全面考查初中数学的基础知识和基本技能.若干试卷考查基础知识大部分都是学生曾经见过的题，本卷中出现不少“不按套路出牌”的基础题，创新考查基础知识和基本技能，达到了良好的效度.举例如下：

案例1 （原卷试题4）测试五位学生“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了.计算结果不受影响的是（ ）.

A.方差 B.标准差 C.中位数 D.平均数评析：该题改变以往统计量的考查更重视计算的现象，突出对统计量意义的理解.

案例2 （原卷试题8）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（ ）.

A.（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°

B.（θ2+θ4）-（θ1+θ3）=40°

C.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=70°

D.（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°

评析：本题是选择题，可以根据选择题的特点进行解题，比如尝试给θ1、θ2、θ3、θ4中的一些角赋值，当θ1确定时，θ2就随之而确定，当θ3确定时，θ4就随之而确定，再在这些特殊值下验证4个选项哪一个选项正确.学生也可以表示△ABP的内角和是90°-θ1+θ2+80°，表示△CDP的内角和是90°-θ3+θ4+50°，利用△ABP和△CDP的内角和都是180°建立等量关系90°-θ1+θ2+80°=90°-θ3+θ4+50°，直接得到θ1、θ2、θ3、θ4之间的不变关系（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°.本题突出了选择题的解题特点，同时又较好地考查了学生运用三角形内角和等基础知识解决问题的能力.

图1

另有第5题比较三角形同一条边上的高线和中线的关系，考查了一般三角形的普遍规律又关注了特殊三角形的特殊情况，第19题，第22题等图形都是根据学生平时常见的图形提出不同视角的考查问题，走出了“基础题就是考知识、技能”的误区，体现了公平性、普及性，实现了“高立意、低起点”.

2.突出考查数学核心概念和思想方法.

纵观全卷，命题者非常重视对数学核心概念和思想方法的考查，如全卷对函数及其相关概念和思想方法的考查尤为突出.因为函数统领代数式、方程、不等式，是数与代数板块的核心内容，同时因为函数又能与几何建立联系，因此函数内容又是连接“图形与几何”与“数与代数”的桥梁，函数的相关知识是初中数学的核心知识.杭州卷历来重视函数知识的考查，在2018年的中考数学卷中可以说有淋漓尽致的体现.列表如下：

题号 考查内容体现 涉及分值8 在点P的运动中，考查四个角之间不变的关系，蕴含了函数思想 3 9 直接考查二次函数的最值，二次函数与一元二次方程的关系 3 10 随着点D的位置改变，AD AB的值改变，S1 S的2 3值跟着改变，蕴含了函数思想15 以行程问题为背景考查一次函数图象的理解与运用 4 17 以货船卸货为背景考查运用反比例函数解决问题的能力 6 20 考查一次函数的解析式，综合考查反比例函数的性质 10 22 考查二次函数的性质，综合考查运用不等式解决问题的能力 12 23 以几何问题为背景寓函数思想，考查建立函数模型解决问题的能力 12

从以上表格可知，2018年杭州卷在函数内容的考查上确实“花大力气，下苦功夫”，凸显函数知识在整个初中数学的地位，同时也为初高中数学衔接教学起了很好的导向作用.

从问题解决的视角来看，全卷特别重视数学思想方法的考查，“抽象、推理、模型”三大思想渗透在试题中，并以显性的思想方法如“数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、化归思想”等具体体现，着力引导学生学会思考，学会学习.举例如下：

案例3 （原卷试题15）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，图2是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图像.乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是_______.

图2

图3

评析：本题是填空题，只需要给出答案，学生可以有不同的解决问题的方法：如用算术的方法：从图像可知，甲车3小时行驶120千米，可见平均每小时行驶40千米（这个数据与一般公路汽车行驶速度有较大差距，不符合现实），乙车比甲车晚出发1小时，说明追及的路程为40千米，若1小时内追到，则乙车速度为40÷1+40=80（千米/小时），若2小时内追到，则乙车速度为40÷2+40=60（千米/小时），故乙车速度v的范围是60≤v≤80.如列不等式解决，设乙车的速度为v千米/小时，则解得60≤v≤80；如画图像解决，则学生可画如图3所示的图像，表示乙车的粗虚线与表示甲车的直线的交点M的横坐标在2与3之间，此时点M的纵坐标在80和120之间，当点M的纵坐标为80时，说明1小时行驶80千米，速度为80千米/小时，当点M的纵坐标为120时，说明2小时行驶120千米，速度为60千米/小时，所以速度v的取值范围是60≤v≤80，体现了运用数形结合思想解决问题的过程.

另外还有第16题以折纸问题为背景综合考查轴对称图形的性质、方程思想；第23题考查了函数思想和数形结合思想等等，这些试题都较好地让学生体验数学思想方法在数学学习中的作用.

3.重视数学试题的教学导向功能.

《义务教育课程标准（2011年版）》指出，评价既要关注数学学习的结果，也要关注数学学习的过程，激励学生的学习，改进教师的教学.中考属于选拔性考试，理想的评价是能考查学生日常的学习过程和学习习惯，考查学生的学习潜能，为不同水平的学生创造合适的教育.仔细研究2018年杭州中考卷，在这方面也有努力尝试和体现.举例如下：

案例4 （原卷试题18）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收的垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数表和频数直方图（如图4每组含前一个边界值，不含后一个边界值）.

（1）求a的值.

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元？

图4

评析：本题以时下的热点话题“垃圾分类”为背景考查学生从统计表和统计图中获取信息分析解决问题的能力，其中第2小题与大部分统计题直接让学生计算平均数、中位数等统计量不同，而是要求学生估计可回收垃圾被回收后所得金额，学生要在真正理解统计图的信息后才能作出判断：根据每一组前一个边界值求最小值，而不是根据每组的组中值进行估计，真正考查了学生运用数据信息解决问题的能力.

案例5 （原卷试题21）如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数.（2）设BC=a，AC=b，

①线段AD的长度是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由；

图5

评析：浙教版八年级下册第2章《一元二次方程》给出了一则阅读材料，介绍了人类历史上寻求一元二次方程的求根公式的历史.在历史长河中，古希腊数学家丢番图在公元250年前后就已经提出一元二次方程的问题，当时古希腊人用图解法求得一元二次方程的解.以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边AB上截取BD=，则AD的长就是方程x2+ax=b2的一个正根.本题第2题中的第①小题判断根的情况如出一辙：用图解法展示了方程x2+2ax-b2=0的一个正根是线段AD.倡导日常教学重视教材阅读材料的使用和研究，也考查了学生平时学习知识的习惯：能否较好地理解问题，这也与我们浙江省教育厅倡导各校开展拓展课程的理念吻合，体现了很好的教学导向.

这些根植于教材的试题，减少了因机械训练、刷题对考试产生的负面影响，启示广大教师脱离题海，创造性地使用教材，潜心研究课堂教学，回归教学本源.

二、特色试题研究

2018年杭州中考数学全卷23题，全卷总体难度不大，采用多点压轴的方式，现选取笔者认为最有区分度的两道试题深入研究它们的解法和命题特点.

案例6 （原卷试题10）如图6，在△ABC中，点D在AB边上，DE//BC，与边AC交于点E，连接BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（ ）.

A.若2AD＞AB，则3S1＞2S2

B.若2AD＞AB，则3S1＜2S2

C.若2AD＜AB，则3S1＞2S2

D.若2AD＜AB，则3S1＜2S2

试题研究：本题是本卷的选择最后一题，以学生常见的一个三角形为背景提出了4个相关联的命题，笔者从解题思路历程和命题策略两个视角进行研究和剖析.

图6

（1）解题思路历程：看到A，B，C，D四个选项都有条件“2AD＞AB”与“2AD＜AB，想到采用特殊值法试一试，如取，选项A正确；如取，选项D正确；于是在选项A与D之间徘徊然后从最特殊的2AD=AB入手考虑，此时点D，E分别是线段AB，AC的中点，＜，当2AD＜AB时，点D在线段AB中点上方，S减小，S12增大，说明选项D一定正确，于是选项C，B明显错误，选项A不确定，但由于选项D是一定正确，可以确定选择D，并断定选项A成立有一定的条件.继续研究何时选项A成立，设=x（0≤x≤1），=y，△BDE的面积为S3，则

（2）命题策略赏析：粗看本题的4个选项，似乎A与B，总有一个是正确的，C与D也总有一个是正确的.这种经验可能源于学生平时的生活和学习经验，因为他们经常会碰到这样的4个命题：

命题1：若x＞2，则2x＞4；命题2：若x＞2，则2x＜4；

命题3：若x＜2，则2x＞4；命题4：若x＜2，则2x＜4.

在这4个命题中，有2个真命题.

事实上，在以上的4个命题中，条件“x＞2”是结论“2x＞4”的充分必要条件，所以命题4也是正确的.如果我们试着将以上的4个命题改为以下4个命题：

命题1：若x＞2，则2x＞3；命题2：若x＞2，则2x＜3；

命题3：若x＜2，则2x＞3；命题4：若x＜2，则2x＜3.

由于“x＞2”是结论“2x＞3”的充分条件，所以以上4个命题只有命题1正确.本题正是利用这样的现象进行命题.本题的4个选项从“2AD与AB”的关系与“3S1与2S2”的关系提出4个命题，既有联系又有区别，充分发挥了选择题的优势，体现了选择题的特点，可称选择题中的“精品”！稍显遗憾的是，若学生能够从特殊情况得到选项D一定正确，则其他3个选项就失去了它的考查功能.

图7

图8

图9

图10

案例7 （原卷试题23）如图7，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设=k.

（1）求证：AE=BF；

（2）连接BE、DF，设∠EDF=α，∠EBF=β，求证：tanα=ktanβ；

（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为和，求的最大值.

试题研究：本题是本卷的最后一题，以学生常见的一个正方形为背景衍生了3个小题，笔者从解题思路历程和命题策略两个视角进行研究和剖析.

（1）解题思路历程：读到该题，先看到一个正方形的基本图形，易证△AED≌△BFA可知AE=BF，第（1）小题得证，同时我们也可以得到DE=AF.接着考虑第（2）小题，如图7，注意到α，β都已经在一个直角三角形中，可以直接转化为线段比，直接从左边证到右边，

以上解法从面积问题的“补”联想到“割”，进一步联想到“比”，一步步走向优化，体现问题本质.

（2）命题策略赏析：本题以学生熟悉的正方形为考查的载体，通过点G在正方形BC边上的位置改变，探索图形中主要元素位置关系和数量关系的变化过程，是一道寓函数思想的动态性试题：把点G的位置改变数量化为k（=k）值的变化，k值的变化相当于自变量的改变.接着展开了层级递进的设问：设问“1求证AE=BF”，起点低，学生易于进入解题状态，同时也让学生感悟点G位置改变时图形中数量关系的不变性，这一问也为后续2问的解决作了较好的铺垫；第（2）问实质是表明“=k”，在这个式子中，随着点G的位置改变，α，β，k这三个量都随着改变，但它们却能和谐地相融在式子=k中，让学生进一步感悟“运动中不变性”的美妙！第（3）问设问随着点G位置的改变，的变化规律，体悟线段AG右侧四边形被对角线BD分割成的两块图形的面积会随着k值的变化而变化，并在点G为BC的中点时达到最大.从以上的解法历程可知，都需要把“形”转化为“数”来刻画，潜移默化地渗透了数形结合思想.笔者在第一次获得问题解的过程中，感觉这3问虽梯度明显，具有较好的区分度，但这3问“自立山头”，没有层级递进的关联，考查学生综合运用信息解决问题能力的效度降低.但随着问题解决方法的逐渐优化，逐渐体会它们之间的关联：第（1）问的结论屡次用在（2）、（3）两问中，毋庸置疑.第（2）问的结论虽未渗透到第（3）问中，但是解题方法却如出一辙：上述解题思路历程中第2问将“”变形为”与第（3）问优化思路“”变形为“类似，这种解题方法的关联更能考查学生的能力；再者学生若发现第2问tanα=1-k，tanβ=，也可以启发学生联想第（3）问也是一个与k相关的代数式，从而确定寻求问题解决的方向.

笔者认为，本题遵循了寓函数思想的动态性试题的命题特点，考查了学生综合运用四边形、相似、函数等初中数学核心知识解决问题的能力，具有良好的区分度和效度，体现了命题的导向.

三、命题与教学启示

1.重视教材的使用与挖掘，夯实基础知识和基本技能

基础知识和基本技能指的是学生通过初中三年需要掌握的必备知识和能力，是检验初中学生达成初中学业水平的基本指标.各地中考试卷一直通过试题倡导教师落实基础知识和基本技能，据不完全统计，2018年杭州中考试卷中有70%的题目都有教材习题的影子，以教材原题为母题提出不同视角的设问或者适当改编，考查学生是否真正理解知识并会灵活运用知识.落实基础知识和基本技能，不意味着反复训练，而是要求老师要重视教材的使用和挖掘，将教材内容作为原始资源进行开发和利用，在通过教材深入挖掘提高教师研究能力的同时，扼制题海战术，减轻学生的课业负担.

2.重视数学思考操作体验，培育数学思想和活动经验

在日常教学中，许多老师为赶进度将数学知识灌输给学生或伪探究草草收场，注重结论的使用技巧而忽略知识的形成过程；复习教学中，很多老师把数学复习等同于做题目，把大量的时间花在解题和讲题上，但是在讲题的时候没有展示解题思路是如何形成的，解决方法是如何构想的，答案的获得对学生来说有种说不出的神秘感，这样的教学使得学生以操练经验代替理性思考，善于模仿而不善于思考，一遇到陌生的问题情境就一筹莫展，数学思维能力得不到实质性的提高.比如本卷第22题第（2）小题“二次函数y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常数，a≠0）的图像经过A（-1，4），B（0，-1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式”，经过三个点中的两个点，貌似需要分类讨论，实则从解析式可知二次函数必过定点（1，0），根据平时二次函数图像的学习经验，二次函数的图像不可能经过横坐标相同的两点，因此经过A，B两点成为必然.这一点学生在平时不止一次地碰到过，学生仍然不会做，归根结底是没有学会思考，教师在教学时对数学思想方法的渗透停留在表面.所以，数学教师要在学生思维能力的培养上下功夫，不能只注重学生对知识的掌握、技能的训练及方法的传授，不能仅仅关注学生解题的层面，而应关注学生是否通过解题明白了一些原理，真正让学生从数学的精神、思想中提高数学素养.

3.重视培养学习品质，提高数学核心素养

数学学习的最终目的是以数学知识为载体，发展学生适应社会发展和终身发展的必备品格和关键能力，形成核心素养.在数学学习过程中形成的意志品质和学习习惯对学生今后的为人处事等都会产生深刻的影响.解题教学中，教师通过对问题的分析、可能结果的预测、解决方法的探寻、严格的解答这些程序去培养学生处理问题的预见能力和有条理的思维能力，通过教学生解题培养学生的意志力.几何学习中“严谨思维、规范表达”是学生平时学习过程中日积月累养成的习惯，很难通过短暂的复习阶段作出明显的改进.这就要求我们教师从学生进行几何的入门教学之初开始，就要培养学生良好的思考和解题习惯：比如从直观到推理、从推理到论证循序渐进地培养学生几何说理、证明、表达的习惯，培养学生能自如地将文字语言、图形语言、符号语言进行转换.面对不同程度的学生，可以适当放慢学习的进度，不仅要求学生在课堂中学会口头表达，教师还要耐心地进行适当的板演，让学生学会层次清楚地进行表述，做到推理研究、论证完整、条理分明.其实，规范的表达后面往往彰显了严谨的思维.学生良好的思考和表达习惯的养成有赖于我们教师良好的教学习惯.