新课程背景下“图形与几何”领域中的例题难度的比较研究——以人教版与北师大版教科书为例

☉西藏自治区拉萨北京实验中学 谢 颖

教科书既是依据课程标准和学生接受能力编写的教学材料，也是教师授课与学生学习的重要载体.而例题是教材的重要组成部分，既要介绍数学的事实、概念和程序等，还要示范数学的事实、概念和程序等的运用，因此对教材中的例题进行研究是教材研究的一个重要方面.基于此，以我国现行使用最为广泛的人教版与北师大版两个版本的教科书为例，通过对两个版本教科书中“图形与几何”领域中的例题在例题的要求、例题与内容的切合度、例题复杂度三个方面进行比较研究，希望能为一线数学教师习题处理提供一些启示.

一、研究设计

本研究应用“中小学理科教材国际比较研究”课题组研究出的公式分别对人教版和北师大版两版本教科书中“图形与几何”领域中的例题难度进行计算，在此基础上进行比较.模型公式即：W=0.40W1+0.30W2+0.30W3，其中W表示例题难度，W1表示例题的要求、W2表示例题与内容的切合度、W3表示例题复杂度，为了合理地进行比较，对W1、W2、W3进行了标准化处理（将其转化为无量纲的相对量），即：，其中1、2和3为内容认知要求的量化值，ni（i=1，2，3）分别表示各量化值对应之赋值标准所确定的知识点个数.W2、W3也进行类似的处理.

二、研究结果与分析

本研究通过对两版教科书中“图形与几何”领域中的例题数量进行统计，发现人教版82题，北师大版84题.

1.例题要求的比较

初中数学教科书中的例题既要介绍数学的事实、概念和程序等，还要示范数学的事实、概念和程序等的运用.同时，例题的要求更多关的是通过问题解决来教学，结合例题特有的功能，将例题要求划分为记忆、程序性理解和做数学3个层次，如表1所示.

表1 例题要求的赋值标准界定表

基于此，统计出人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域中的例题要求的数量，如表2所示.

经研究发现人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域在例题要求上的差异较大.为了更加直观清晰地显示两版教科书中“图形与几何”领域中的例题要求（W1）的分布情况，特绘制柱状图如图1.

图1 两版教科书中“图形与几何”领域中的例题要求分布柱状图

根据以上数据，通过对比可知：人教版教科书“图形与几何”领域中的例题处在记忆、程序性理解、做数学三个例题要求上的知识点个数分别为11、55、16，各自占的百分比分别为13.42%、67.07%、19.51%；而北师大版教科书“图形与几何”领域中的例题处在记忆、程序性理解、做数学三个例题要求上的知识点个数分别为6、60、18，各自占的百分比分别为7.14%、71.43%、21.43%.在“程序性理解”和“做数学”水平上北师大版比人教版分别高4.36和1.92个百分点，而在“记忆”水平上人教版却比北师大版高出6.28个百分点.

两版教科书中“图形与几何”领域中的例题要求差异不大.因为例题具有示范性，所以70%左右的例题是“程序性理解”水平例题，而“做数学”水平例题大多来源于作图例题，两版教科书都比较注重知识的概念性理解、公式掌握以及操作性步骤等数学基础的培养.但值得一提的是北师大版教科书的探究性问题并不是常规普通的应用题和选择策略性问题，不是为了探究而探究，而是真正要学生去探索、研究、发现地做数学问题，虽然教科书中探究题的比例不多，但有很多有新意的数学探究题.

2.例题与内容切合度的比较

例题与内容切合度（W2）主要指例题中形成、介绍和运用的事实、概念与程序与所学内容及其要求的一致程度.教科书例题设计时，通常是将某内容及其要求分解成更小的知识技能要点，按知识逻辑及知识习得过程分步或分类加以“小步快进”式地编排.因此，在内容及其要求相同的情况下，例题配备的数量往往影响着例题难度，体现着例题与内容切合程度.因为知识点配备的例题数与例题内容切合度有着较高的相关性，结合两版初中数学教科书中“图形与几何”领域所配例题的实际情况，依例题与内容切合度对例题难度的影响，用例题与所配知识点个数将其赋值，赋值标准界定如表3所示.

表3 例题与内容切合度的赋值标准界定表

基于此，统计出人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域的例题与内容切合度的数量，如表4所示.

表4 例题与内容切合度的数量统计表

经研究发现人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域在例题与内容切合度上的差异较大.为了更加直观清晰地显示两版教科书中“图形与几何”领域的例题要求（W2）的分布情况，特绘制柱状图如图2.

元代让人最为印象深刻的便是青花瓷，青花纹饰的表现形式各异，纹饰内容多样，成品图案丰满。从画面图案中的笔法，构图，神韵，都极具国画的特点。

图2 两版教科书中“图形与几何”领域中的例题与内容切合度分布柱状图

根据以上数据，通过对比可知：人教版教科书“图形与几何”领域中的例题处在低、中、高三个切合度上的知识点个数分别为32、42、8，各自占的百分比分别为39.02%、51.22%、9.76%；而北师大版教科书“图形与几何”领域中的例题处在低、中、高三个切合度上的知识点个数分别为25、55、4，各自占的百分比分别为29.76%、65.48%、4.76%.在“低切合度”和“高切合度”水平上人教版比北师大版分别高9.26和5.00个百分点，而在“中切合度”水平上北师大版却比人教版高出14.26个百分点.

两版教科书中“图形与几何”领域中的例题与内容的切合度差异略大.90%以上的例题属于低、中切合度，每个例题都含有重要的知识点，教科书中的例题选择注重知识的连贯性和综合性，同时又以低、中切合度为主，高切合度交叉相配合的编排方式，充分反映了我国教科书中例题的选择和编排层次的合理性.

3.例题复杂度的比较

例题的复杂度（W3）是指例题本身的程序复杂性，通常以用通性通法来解决问题时的步骤数来衡量.因此，本研究采用运算与推理步骤，解题方法个数来作为衡量问题复杂性的重要指标.鉴于初中数学教科书中的例题基本上是简单的符号运算、推理，例题设问、解法通常较简单，且例题编码时按题目单位计量，将例题复杂度赋值标准界定如表5所示.

表5 例题复杂度的赋值标准界定表

基于此，统计出人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域的例题复杂度的数量，如表6所示.

表6 例题复杂度的数量统计表

经研究发现人教版与北师大版教科书中“图形与几何”领域在例题复杂度上的差异较大.为了更加直观清晰地显示两版教科书中“图形与几何”领域中的例题复杂度（W3）的分布情况，特绘制柱状图如图3.

图3 两版教科书中“图形与几何”领域中的例题复杂度分布柱状图

根据以上数据，通过对比可知：人教版教科书“图形与几何”领域中的例题处在低、中、高三个复杂度上的知识点个数分别为31、39、12，各自占的百分比分别为37.81%、47.56%、14.63%；而北师大版教科书“图形与几何”领域中的例题处在低、中、高三个复杂度上的知识点个数分别为22、40、22，各自占的百分比分别为26.19%、47.62%、26.19%.在“中复杂度”和“高复杂度”水平上北师大版比人教版分别高0.06和1.56个百分点，而在“低复杂度”水平上人教版却比北师大版高出11.62个百分点.

两个版本教科书中“图形与几何”领域中的例题在例题复杂度上各部分所占的比例差别略大.两版本教科书中的例题的复杂度处于低、中级较多，大概占总量的80%左右，高复杂度的例题因为含有多种运算和步骤，因此主要处在“相似”“锐角三角形”“圆”等这些章节中，涉及到的知识点比较综合.北师大版教科书比人教版教科书中的例题更加体现了知识点的综合性.

三、研究结果与建议

1.两版教科书“图形与几何”领域中的例题难度比较研究结论

通过三个影响因素对两个版本教材中“图形与几何”领域中的例题难度的统计，所得结果如表7所示.

综上所述，根据公式W=0.40W1+0.30W2+0.30W3，结合以上数据分别求得两版教科书中“图形与几何”领域中的例题难度量化值为：

从总量化上看，北师大版教科书较难，人教版教科书较易.事实上，依据前述例题难度确立的原则和标准，就例题要求而言，人教版教科书中有11个例题，北师大版教科书中有6个例题是直接展示事实、概念和程序，要求学生准确记忆，其余大多数都以程序性理解型例题为主，注重知识概念、公式的理解与应用，操作步骤的示范性等；就例题与内容切合度而言，两版教科书均以低、中切合度为主，高切合度相配合的原则，注重例题内容的选择与例题的编排方式；就例题复杂度而言，两版本教科书中的例题复杂度处于低、中级较多，大概占总量的80%左右，只需少量的计算和运算的推理步骤，解决方法基本没有其他选择；北师大版对例题复杂度要求较高，有22个例题属于高复杂度水平例题，要求有三步或三步以上的运算与推理，或存有两种解决通法.

表7 两版教科书中“图形与几何”领域中的例题难度因素量化值表

为了更加直观清晰地显示两版教科书中“图形与几何”领域中的例题要求（N）的分布情况，特绘制分析图如图4.

图4 两版教科书中“图形与几何”领域中的例题难度三角形分析图

例题是一个经历知识的形成与应用知识的过程，它的设置有利于学生更好地理解数学与应用数学.两版教材例题示范性强，形式多样化，通过问题情境建立模型，解释、应用与拓展，通过对一个个问题的研讨，逐步展开相应知识的学习，这样不仅有助于学生经历真正的“做数学”的过程，还能在此过程中逐步发展应用意识和创新意识等.

人教版教科书“图形与几何”领域共有例题82个，北师大版教科书“图形与几何”领域共有例题84个.就例题要求而言，人教版教科书例题要求系数为0.6870，北师大版教科书例题要求系数0.7143，其中人教版教科书中有11个例题，北师大版教科书中有6个例题是直接展示事实、概念和程序，要求学生准确记忆，其余大多数都以程序性理解型例题为主，注重知识概念、公式的理解与应用，操作步骤的示范性等；就例题与内容切合度而言，人教版教科书例题与内容切合度指数为0.5691，北师大版教科书例题与内容切合度指数为0.5833，两版教科书均以低、中切合度为主，高切合度相配合的原则，注重例题内容的选择与例题的编排方式；就例题复杂度而言，人教版教科书例题的复杂度系数为0.5894，北师大版教科书例题的复杂度系数为0.6666，两版本教科书中的例题复杂度处于低、中级较多，大概占总量的80%左右，只需少量的计算和运算的推理步骤，解决方法基本没有其他选择；北师大版对例题复杂度要求较高，有22个例题属于高复杂度水平例题，要求有三步或三步以上的运算与推理，或存有两种解决通法.

人教版教材的例题示范性作用强，注重知识内容的前后联系，重视知识内容的发生与发展过程，注重知识的演绎推理过程；典型性突出，例题与知识内容更加贴近.而北师大版教材的例题的种类形式多种多样，结合熟悉的、有趣的生活背景，在观察、想象、分析和推理等活动中，以图象表征的呈现方式传递给学生，帮助学生正确理解知识概念，逐步积累研究图形的活动经验，注重培养学生的思维能力、创新意识，发展空间观念.

2.教科书使用建议

基于例题特征，引导学生变式探究.在教学中，要针对典型的数学试题引导学生从多角度探索问题，这样既能得到不同的解题方法，还能使学生通过变式获得新的数学结论.通过有指导性的再创造活动，让学生体验到探索过程中的快乐，数学结论的美妙与和谐，从而培养理性思维与创新意识，发挥数学的内在力量，实现“数学育人”的教育目的.

教科书是课堂学习活动的载体，是教育教学活动中的一个“跳板”，而非“圣经”，只有全面了解教科书的编写内容，领悟教科书的编写特点，发展教科书中蕴含的教学资源，灵活地、创造性的使用教科书，让教科书为教学服务，为学生的发展服务，才能使教科书真正成为学生学习科学知识的好资源，成为激发学生学习兴趣的动力之源.