四步七阶段搞定初中数与代数概念教学设计*——以认识一元二次方程为例

☉太原师范学院教师教育学院 陈梦瑶 王保红

数学是以思维为主导的学科，而概念是思维的基本单位，要想对学生思维品质进行培养，上好概念课显得尤为重要.哲学上对概念的理解是人脑对事物本质特征的反映.在数学教学中要想展开一个知识点的学习，最基础的工作就是概念的学习，在初中学习中分为四大块：数与代数、几何与图形、概率与统计以及综合与实践.本文以一元二次方程为例，阐述数与代数概念教学设计的四步曲.

一、设计前请走好这四步

1.对概念的宏观把握

通过对《数学课程标准（2011年版）》进行查阅，对一元二次方程这一概念本质属性与教育价值进行把握，“课标”中要求：“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.”由此可以对本节知识的本质属性准确定位为在形式上可以辨认一元二次方程，会在具体情境中列出一元二次方程并将其转化为一般式.教育价值为在已有知识基础上，更加深入地通过具体情境深化方程模型思想，能在数学问题中寻找到等量关系并用方程描述.

2.教材分析

教材分析包括宏观把控和教材细节分析.宏观把控需要对整章知识、学生已有知识进行分析.本节知识在北师大版九年级上册第二章第一节，以认识、求解、应用一元二次方程构成整章，而初中主要应用一元二次方程解决几何等量问题、增长率问题以及利润问题.北师大版教材对该节知识的编排呈现的三个实际问题情境均是几何等量关系，教师必须明确每个问题的编写意图.其中第一个面积问题在学习一元一次方程时已经有所涉及，因此可以利用学生熟悉的一元二次方程的面积问题进行课堂导入；第二个梯子下滑问题为了利用已有知识勾股定理，创建几何与代数的关系，利用一元二次方程解决几何问题；第三个自然数问题，要是将整式运算法则与一元二次方程联系起来.通过三个具体问题抽象方程，并类比一元一次方程的概念定义一元二次方程，通过对习题考查的知识点的分析能够把握这节课的重难点——系数的判别以及一般式的化简，在此教师则需要强调和有针对性的练习.

3.学情分析

在七年级上册“整式及其加减”章节，学生已经可以在具体情境中列出代数式，且初步形成符号意识；“一元一次方程”章节，学生已经能探索具体情境中的数量关系，初步感受方程的模型思想，它的研究方法以及定义概念的方式为本节知识学习奠定了知识迁移的基石；在七年级下册“整式乘除”章节完全平方式以及平方差公式的学习中，对学生的符号意识和推理能力有深层次的拔高，同时将几何与代数结合，落实了几何直观核心素养，为一元二次方程中几何与代数结合奠定基础；八年级上册“二元一次方程组”章节，学生再一次体会到在具体情境中寻找等量关系，树立符号意识，体会方程的模型思想以及“消元”思想；八年级下册“分式与分式方程”进一步深化了方程的思想.这些章节的学习均为今天一元二次方程的学习打好了基础，方法上能达到迁移，思想上得到进一步的深化.这一系列知识的学习均为一元二次方程的认识铺设了道路.

4.教学目标的确定

通过对“课标”以及教材的分析，在宏观及微观上均对这节内容有很大把握，下一步则要制定具体的三维目标，以上研究均可以对教学设计的每一个环节进行指导，在以上研究基础上可以清晰明确地确定本节知识的三维目标如下：

知识与技能：能在具体问题情境中寻找到等量关系并列出一元二次方程，能辨析一个方程是不是一元二次方程；能将任何形式的一元二次方程化为一般式，并能准确判断其二次项系数、一次项系数以及常数项.

过程与方法：经历并探索用一元二次方程刻画实际生活问题的过程，进一步深化方程思想，并提高学生的运算能力.

情感态度与价值观：建立数学与实际生活关系，体会数学是解决实际生活问题的有利工具，从而产生学习数学的动力.

以上四步有序完成以后，为教学设计的每一步设计提供好了支撑基础，使教学设计的每一步都有根有据.

二、一元二次方程的教学设计

1.寻找基石，引发疑惑

学生活动：列出下列方程，并对其命名.

问题1 在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及纸草书中，记载着一些数学问题，其中一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，它的，其和等于19.”你能求出题中的“它”吗？

问题2（古代鸡兔同笼问题）今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

问题3 某长方形操场面积为5850m2，长和宽之差是25m，求操场的长和宽.

设计意图：数学概念的发展均源于实际生活，在数学史中处处可以找实例，此处利用以前涉及过的数学史精准唤醒学生的记忆，并强调数学文化的重要性，同时通过让学生在实际问题中寻找等量关系，列出方程，从三类方程形式上的不同，与学生的认知发生冲突，激发学生的好奇心，引出新课，同时为类比一元一次方程概念概括一元二次方程概念作铺垫，这也就是概念教学的第一阶段即各种刺激的辨别.

2.结合实际问题，概括共同特征

问题4 面积问题：我们的教室地面的长为8m，宽为5m，要举行班会装饰教室，即在地面正中间铺设一块面积为18m的地毯，你能计算出未铺地毯的四周条形区域的宽度吗？首先列出方程.

问题5 梯子下滑问题：消防员用一个长为10m的梯子斜靠在楼房的墙上救援一只小猫，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.营救过程中梯子的底端向外滑动了1m，消防员想知道梯子顶端向下滑动了多少米？首先列出方程.

教师引导：要求学生一起寻找等量关系，并口头陈述.

师生活动：对等量关系3、4、5的方程化简，并观察这三个等式有什么共同特征？同学们带着教师的提问进行讨论，类比一元一次方程定义给这类方程下定义.（渗透类比的思想、教师PPT展示一元一次方程概念）

设计意图：在问题3基础上，深化面积问题，问题4不论列方程还是化简均难于问题3；问题5则利用熟悉的勾股定理作为生长点，建立几何与方程的关系；以教材为依据对两个问题进行改编，使问题更贴近于生活，让学生深刻感受生活与数学的密切关系，并在具体问题情境中建立方程模型，并对方程进行基本的化简，通过小组讨论经历共同属性的发现过程，对比一元一次方程形式，在问题的刺激下分化出一元二次方程形式的共同属性，抽象出本质属性，类比一元一次方程概念，形成一元二次方程的概念，即在各种刺激中经历分化、抽象共同属性，形成概念的过程.

教师总结：我们之前学的一元一次方程、二元一次方程可以帮助我们破解生活问题，我们发现一元二次方程也可以，以后遇到等量关系问题，可以多方面考虑，可以考虑用一元二次方程来解决.

设计意图：教师的总结，为了在思维上提升学生，落实利用方程解决实际问题，小小的总结，不起眼但是却可以点醒学生，引起学生的注意.

3.深入认识，确定关键属性

问题6 归纳一般式：将上述三个方程移项，按照等号左边为一次三项式，等号右边都为0整理，你发现了什么？

教师引导：教师带领学生化简一个.

设计意图：教师通过巡视观察学生移项过程中的主要错误，强调学生易错点，加深学生印象，同时再次回到情境，对一元二次方程的概念进行检验，在此基础上深入认识概念，归纳一元二次方程的一般式且用符号表示新概念ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）并定义二次项系数和一次项系数，落实教学目标.

问题7 小组讨论，完成下表1.

表1

设计意图：及时强化巩固，从正例做起，通过小组讨论，暴露学生认识上的错误，捉住易错处进行强调，让知识的生成更自然，不为了强调而故作假设.

问题8 深入理解一般式：讨论为什么a≠0，并判断5x2=0，x2-2x=0，7x2-8=0，4x3-4=0是不是一元二次方程？

设计意图：再次深入认识一元一次方程与一元二次方程的本质不同，深化对概念的本质属性的理解，让学生发现当a≠0时一般式变为bx+c=0，即变为一元一次方程，强调a≠0的重要性，再利用正反例对比确定一元二次方程关键属性.

4.练习，拓展提升

问题9 提升对概念的理解：方程xm+4+4x=0为一元二次方程，m为多少？

设计意图：比问题8更深一个层次对概念进行理解，抽象为符号表示的形式对学生思维层次要求会更高，在本节课中是对学生思维的一个拔高.

问题10 根据题意，列一元二次方程：

（1）衣服设计师想要将一块面积为54m2的长方形布料剪成正方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变为一个正方形，你能计算这个正方形布料边长为多少吗？

（2）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进门，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去，你知道竹竿有多长吗？（三尺为一米）

设计意图：第一题改编自教材中的问题，利用数学培养学生感受生活中的乐趣，学生在实际情景中寻找等量关系，列出一元二次方程，及时对教学目标进行落实与强化，第二题利用《九章算术》中的问题将数学文化在无形中传递，并和所学知识紧密联系.

问题11 完成下面的表2.

表2

设计意图：进一步强化对一元二次方程及其一般式的认识，并能通过及时的巩固准确无误的确定二次项系数、一次项系数和常数项，同时在完成表格后，及时利用简单的一元二次方程4-7x2=0预告新课，即求解一元二次方程的方法.

5.本节小结

教师引导：让学生从方法、思想上总结本节课，并形成框图.

设计意图：以学生为主导课堂小结，可以及时抓住学生的注意力，增强本节课的课堂效果，并引导学生将以前的知识与今天的知识一起纳入框图，形成对知识的整体把握，养成好的思维品质.

三、概念教学设计策略

1.以四步为基础，为教学设计铺好路

在进行一节课的教学设计之前首先要从“课标”看起，从宏观上把握上课的基本思想不偏离正轨，其次是对教材的研读，达到本章知识的整体把握，小到本节知识的每一个问题、练习题以及概念呈现方式，深入挖掘编者的设计意图，合理选择在课堂中应该呈现的情境，如果教材挖掘不够，会使得教学设计的导入流于形式；再次是对学情的把握，学情的把握能让我们寻找到本节概念课的生长点，创造性地引入新课并可以通过类比形成概念，使知识自然生成，自然迁移，概念的理解顺理成章，新知识的学习不再是痛苦的，而变成一种享受；最后就是在以上三步基础上稳扎稳打地确定三维教学目标，知识与技能目标是可测的，过程与方法则贯穿整堂课，情感态度与价值观则需要潜移默化的实施.做好这四步，教学目标的确定也不再困难.

2.以七阶段为指导，设计概念教学

在概念的教学中，形成概念需要经历七个阶段，即在具体情境中辨别各种刺激模式、分化出各种刺激模式的属性（共同属性）、抽象出各种刺激模式的共同属性并加以提炼（本质属性）、形成概念、检验概念并明确关键属性（回到情境，通过正反例确认）、用符号表示新概念、对新概念进行精致，由于概念不是抽象难懂的，它的学习必须结合具体问题情境，在概念教学设计中以这七个阶段进行评判和指导，可以使概念教学的教学设计顺利进行，并且每一步的设计都恰到好处，从而使知识的落实稳扎稳打.

3.概念的教学，不忘数学文化的传播

数学概念的学习对于数学的学习如同建设楼房的地基一样重要，《概念多元表征的教学设计对概念学习的影响》指出直接学习抽象的数学概念是困难的，用数学概念的多元表征学习数学概念是一种新理念和策略.教师可以利用问题情境进行概念教学，这是因为概念的发展与形成均源自实际问题情境，由此可见概念是有源头的，这就需要教师对概念的源头进行挖掘，同时结合学情，选取合适的数学史作为情境，既不会使学生觉得概念的产生十分突兀，又可以创设吸引学生眼球的问题情境，使概念的学习自然而然、水到渠成，同时传递了数学文化，一举两得.同样也可以利用数学文化来贯穿整节课，以一个数学故事为链，捆绑整节课的学习.