辨析矩形概念 促进性质探索——对一节矩形性质研讨课的教学思考

☉安徽省铜陵市第八中学 潘楷佳

2018年3月我省教研员会议在铜陵一中举行，会上两位老师各自奉献了一节研讨课.其中A老师的课题是人教2013年版数学八年级下18.2.1矩形（1），内容是矩形概念、性质和推论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”.这个内容似乎不难教学，没有争鸣的必要，所以有关这方面的研讨文献也不多见.但是笔者认为，图形性质是图形概念衍生出来的特征，由此如何加强概念的辨析，有效设计性质探索的活动，是值得研讨的.本文先从课堂观察开始，谈谈矩形性质的一些教学思考，以供研讨.

一、课堂观察

1.课堂实录

环节1是概念引入阶段.A教师先提问平行四边形有哪些性质，再观察平行四边形木框的变形，当其旋转到与一个固定直角的一边重合时停下，启发学生得出矩形定义，并配以矩形实物图片，以说明学习矩形的必要性.环节2是性质探索阶段，是本课重点.A教师给出问题“矩形作为特殊的平行四边形，它具有哪些特殊的性质呢？”学生经过自主合作探究，发现矩形的性质有：①四个角都是直角；②对角线相等；③轴对称图形，有两条对称轴；④对边平行且相等；⑤对角线互相平分；⑥对角相等.然后师生互动分类，梳理出矩形的特性，折纸验证和规范证明，得到矩形的3条性质.环节3是研究推论阶段.A教师先出示生活链接-投圈游戏的图片，图片中矩形对角线的交点处放一目标物，四个顶点处各有一个学生的头像.问这样的队形对每个人公平吗？为什么？接着又问：“如果一个学生回家写作业去了，剩下三个同学玩套圈游戏，还公平吗？”由此引出推论.环节4是巩固应用阶段（略）.

2.课堂点评

（1）特点分析：A教师重视学生参与和教师引导，用启发式教学概念，用探究式教学性质；重视生活情境和问题设计，重视数学实验，有实物、图片和PPT动画辅助，比如为了突出矩形位置，课件里固定一个粗线条的直角，是一种好的创意.又比如用smart设计了5个挑战过关的练习，形式新颖.整节课培养了学生空间观念和推理能力，也有数学思想的渗透.（2）思考起点：矩形也有不稳定性，为何旋转到直角时就停下？在启发得到矩形概念时，缺乏辨析的深度；师生探究并得到矩形性质时，为体现其特性，缺乏类比；生活链接的游戏不够严谨，因为问题里没有给出公平的标准，也没有必要，因为推论是矩形性质的自然延伸，这个整体不能割裂，而另起生活情境反而增加了学生的认知负担.

二、教学研讨

1.理解图形性质和概念的关系

章建跃博士说过，“理解数学，理解学生，理解教学，理解技术”.要做到四个理解实属不易，这要“回到原点的追问（前不久刚刚仙逝的裴光亚先生的话）”.其困境有：矩形概念为何这样定义？学生知道矩形多少知识？矩形概念和性质是什么关系？又如何抓住矩形概念本质设计性质探索的问题呢？更一般地，什么是图形性质等？

笔者认为，图形性质是指图形运动变化过程中保持不变的数量关系和位置关系，是由该图形概念衍生出来的、区别于其他图形的特征.并以命题的形式表达的，属于充分条件范畴.同时，将图像性质说成图形特征更准确更好理解，因为性质的范畴更大.原华师大版初中数学教材就是把图形的性质表述为图形特征的.

图形的概念和性质之间存在着必然的联系.从思维角度看，概念、判断和推理是思维的基本形式，三者中概念是基础，在概念基础上进行判断，在概念和判断的基础上进行推理，从而获得图形性质，数学思维说到底就是概念的思维.从逻辑关系角度看，概念的内涵外延决定了图形性质，限制了图形性质的适用范围.如对顶角从属于两条直线相交的位置中，再结合互为补角的概念就必然有对顶角相等的数量关系；又如正比例函数y=kx（k≠0）概念中，因y总是x的k倍，故点（x，kx）呈现直线方向并经过原点，当k≠0时直线从左到右不是上升就是下降；再如矩形，因为平行四边形有一个内角变为直角，所以矩形的四个角都是直角，因为有一个直角的牵制，所以矩形的对角线相等，因为有一个直角的牵制，所以一组对边的垂直平分线重合，矩形成为轴对称图形.

因此，概念的本质是图形性质教学的逻辑起点.从概念辨析出发，围绕一个“特”字去探索图形性质，应是自然之道.

2.重视学情，加强矩形概念的辨析

学生在小学里对长方形和正方形有所了解，认为长方形是有四个直角的四边形，对长宽的印象深刻，知道了四个角都是直角、四条边都相等的四边形就是正方形.之前又知道了四边形内角和与其不稳定性等，对平行四边形概念、性质、判定、运用及转化为三角形的研究方法也有所了解，有了初步的逻辑思维能力和空间观念，有了一定的独立思考和综合表达能力.这些都构成矩形学习的认知基础，但又是初中矩形概念学习的认知障碍.因为在启发矩形定义时，如果教师没有辨析与互动，那么学生仍会疑惑为什么就不能说“四个角为直角的四边形叫矩形”呢？同时矩形长宽的关系属性隐藏在概念之中，易被忽略.

事实上，平行四边形和矩形都具有不稳定性.学生容易发现，在平行四边形从0度旋转到180度的过程中，平行四边形的四边没有改变但角一直在变化.可见矩形和一般平行四边形的逻辑关系为：矩形首先是个平行四边形，是因为一个内角的特殊化而形成的，是平行四边形下的第一个生长性概念.再引导学生以属加种差形式得到定义：有一个直角的平行四边形叫做矩形.这种种属关系最好用大小圆等形式显示出来，以强化辨析.故“四个角都是直角”只是矩形性质而非概念本质.这种定义方式便于探究矩形性质，也能迁移到菱形、正方形的学习中去.另外，长，指物体左右的距离；宽，指物体前后的距离；高，指物体上下的距离.故长不一定大于宽.这与人们通常的理解不一样.因初中教材中没有点明长方形与矩形的名称关系，也没有提到长宽关系，故这里要提一下.基于这样的学情和概念本质思考教学，才可能使学生有一个完整的概念认识.

3.基于素养，设计矩形性质的探究

罗增儒教授说：“探究式教学是指学生在学习概念和原理时，教师提出一些事例和问题，组织学生‘自主、合作、探究’，发现并掌握相应结论的一种教学方法.”这种探究具有自主性、开放性、过程性、合作性、创造性等特点.

实践证明，平行四边形、矩形、菱形、正方形知识容易混淆.从知识整体看，矩形与各种多边形都有联系，也是圆、相似形、立体几何等知识的基础.从概念出发设计性质探究的问题，才会使性质教学不至于生硬，因为建立在学生思维最近发展区上的问题才是更有效的.问题要多元化设计，运用“问题及变式策略、类比策略、过程性策略、开放策略、系统化策略”教学.其中对角线相等可用全等证明，也可用勾股定理或轴对称性证明.而矩形的轴对称性用实验或课件演示，这是轴对称图形性质探究的通性通法.探究式教学还要注意积极评价、反思求异，尽可能地给学生机会展示不同的思维.笔者在自己的课堂里，一名成绩一般的学生就提出用勾股定理证明对角线相等的方法.

矩形性质探究之后应该：（1）类比平行四边形确认矩形特征.如图1，利用平行四边形的动画演示，抓住平行四边形一角的旋转，观察另外三个角度和对角线长度的变化、一组对边垂直平分线的重合、全等三角形对数等；矩形也是中心对称图形，观察矩形绕着中心点O旋转180度，可见其对边、对角、对角线和其中三角形的重合等.这样既体现了概念对性质的作用，又容易强化学生对矩形特征的理解.（2）探究矩形内部的结构.发现矩形被两条对角线分割成四个面积相等的等腰三角形和四个全等的直角三角形.再从这四个全等的直角三角形中，抽象出任意一个含斜边上中线的直角三角形模型，观察就能得到推论“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.这是一个建模的过程，是性质的直接运用，也是研究推论的通性通法.这样做没有割裂性质与推论的整体联系，也能复习矩形和三角形、垂直平分线、轴对称等知识的联系，可完善学生的认知结构.

因为▱ABCD的不稳定性，即不会被对角线固定，所以实物木框不方便使用，但几何画板却能把平行四边形绕点B旋转，也能从矩形ABCD中平移出△ABC等，几何画板不仅能将一些抽象的静态图形以动态形式显示出来，而且为学生提供了一个探究平台，是图形性质教学的首选工具，能有效培养学生的各种素养.

图1

从素养角度看，数学核心素养的培养要落实在“四基”教学上，落实在知识技能学习的每一个环节里.所以本课教学目标应是：①经历概念的辨析同化过程，掌握矩形概念；②通过探究活动，理解矩形的两条性质和一个推论；③在概念性质学习的过程中，发展学生的合情推理演绎推理能力，培养空间观念，感悟数学思想，积累数学活动经验.

三、课堂重构

环节（一）情境引入，辨析概念

问题1：我们学习了平行四边形哪几个方面的知识？

问题2：观察下列图片（课本、门等），你能抽象出哪种形状的图形？

追问：对这种图形知识，你了解哪些？

设计意图：先温故知新，引导学生概括性回答，关注学生是否知道图形的研究对象有哪些？接着从一组实物图片中抽象出矩形，暗示本课的研究对象.并现场了解学生的学情，为概念辨析作准备.

问题3：观察平行四边形木框的变形，哪些量不变？哪些量在变？变形中它还是平行四边形吗？为什么？

追问（1） 有没有特殊平行四边形出现？因什么而产生？（预设答长方形，给出矩形名称并说明矩形和长方形的关系；过程中用几何画板或实物演示平行四边形一个角从0度到180度的旋转，以突出概念的本质）

追问（2） 矩形应该怎么定义呢？（预设有四个直角的四边形叫做矩形，有一个直角的平行四边形叫做矩形.说明前一种说法掩盖了矩形的本质属性）

追问（3） 矩形和平行四边形是什么关系？（给出两圆的包含关系图）

设计意图：问题串和动态演示的目的是为了发现矩形是由平行四边形变形而来的，且直角位置唯一.了解概念的包含关系，渗透类比思想，为定义矩形积累感性经验.而要学生说出定义，是为了直指本质，明确概念辨析的教学方向，把概念同化过程建立在学生认知的基础之上，提高针对性.

环节（二）操作确认，探究性质

问题4：平行四边形因为一个内角的特殊化成为矩形，所以矩形很特殊.这种特殊性体现在哪些方面？（动手画图、小组合作）

设计意图：引导学生利用定义画出矩形，并自主、合作、探究矩形有哪些特征.积累数学活动经验.

问题5：请用命题的语句说说你的发现.

追问（1） 对比平行四边形性质，哪些发现是矩形特有的？

追问（2） 怎么证明这几个特性呢？

追问（3） 还有其他证法吗？

设计意图：探究之后的归纳概括，不能由老师直接给出.应注意培养学生用符号、命题等数学语言表达的能力，培养猜想需要梳理，猜想需要证明的反思意识，培养思维的灵活性等.（其中课件准备用勾股定理证明对角线相等的过程，以便随机调用）

问题6：请看▱ABCD绕一个点B旋转，说说平行四边形内角与对角线是怎么变化的？全等三角形有几对？一组对边垂直平分线的位置关系怎样？

设计意图：利用动画演示，直观说明矩形特性，类比平行四边形性质，体会一般与特殊的关系，发展空间观念等（也可把矩形绕中心O旋转和对折，以验证性质）.

环节（三）延续探究，特性运用

问题7：请进一步观察，矩形除了以上三条性质外，还有什么结构特征？

追问：单独观察一个直角三角形，如Rt△ABC，BO是它的什么线段，BO与AC有关系吗？

设计意图：进一步分析矩形结构，了解矩形与其他知识的关联.对于Rt△ABC中的BO与AC关系，学生自然会联系矩形思考，既复习了矩形性质，又得到这条推论（顺便还要提一提这条推论的逆定理也成立，可尝试课外探究）.

环节（四）简答练习题与课堂小结（略）

四、教研感悟

因为初中教材里的矩形概念和小学教材的描述不一致，所以备课时必须查阅小学教材，做到心中有数，提高对学情的把握，有利于矩形特征的教学，做到理解数学、理解学生.但是运用技术辅助教学是千变万化和不断发展的，且教学有法教无定法.因此理解教学是一门与时俱进的学问，确实“教学应是一种学术活动（罗增儒教授的话）”，争鸣即是研讨课的出发点，又是研讨课的特征，而研讨是教师专业发展的途径之一.