集合问题的常见错误简析
2018-08-29陈曦
陈曦
摘 要：集合是数学学习中极为重要的知识点。通过对集合知识的学习，能够为其他数学知识的学习奠定基础，能够让我们对于相关知识的掌握程度更为牢靠。[1]通过集合问题常见错误的分析，不仅能够让我们更好地避免此类错误的再次发生，也有助于我们对于集合相关知识的深入领会。
关键词：集合知识 常见错误 问题分析
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）07-0-01
前言
集合是我们数学学习过程中不可忽视的一个重要知识点，通过该知识点的学习，我们能够更加夯实自身数学基础，对于其他问题的进一步学习和掌握奠定基础。而集合学习过程中容易出现一些错误，如能对这些常见错误进行分析，必可真正让我们对该内容予以系统掌握。[2]
一、集合学习重要性
集合属于最基本的数学语言范畴，融合了集合概念、集合与集合之间的关系以及集合的运算等相关知识。集合作为数学表达工具，具有至关重要的作用。集合属于高中数学的基本概念，能够为后续函数的学习奠定良好的基础，在每年的高考中，集合这一知识内容都占有一席之地，属于每年的必考考点，在高中数学学习中具有举足轻重的作用。通过这些内容的学习，有助于对有关函数知识内容的掌握，为函数的学习打下扎实的基础，有助于提升我们分析与解决问题的能力，能够实现数学知识与技能的提升，进而显著提高学习效率。[3]
二、集合问题常见错误分析
1.忽视集合为空集情形
例题1：已知，，如果计算出实数p的取值范围。
错解：假设的两个根是x1，x2，由于，
故该方程具有两个正根，推算出
因此，实数p的取值范围是（-∞，-1）。
剖析：我们在对这类题型进行解答的过程中，经常对空集是任何集合的子集这一内容忽略，在上面的解题方法中，就对的特殊情形忽略了，当，可以推算出，则该方程无解，该类错误是由于分类讨论不全面系统导致的，因此，实数p的取值范围是（-∞，1）。
2.忽视结合中的元素互异
例题2：假设，
，并且集合A与集合B相交，其取值范围为{2，5}，请计算出实数a的值。
错解：通过该题的题意可以得出，由可以得出a=3或者a= ±1。
剖析：众所周知，在集合中，元素具有三个特征，即确定性、无序性以及互异性。其中，所谓的确定性指的是对于任何一个元素来说，要么属于某个指定集合，要么不属于该集合，二者必居其一；所谓的无序性指的是通过对集合中元素的排列次序進行随意改变，这些元素仍然对同一个集合进行表示；所谓的互异性指的是在同一个集合中的元素是互不相同的。在对集合类问题进行解答的过程中，经常忽视元素的互异性，所以，在该例题中，当a=1时，在集合B中，存在着两个元素都是1，这与集合中元素的互异性这一特征不符合，应当将其舍去。
3.忽视集合中的代表元素含义
例题3：设，那么必须有（ ）。
A. B. C. D.
错解：由于，可以推算出亦或是，故此，该试题的答案应当选择（A）。
剖析：在该例题中，将集合作为例题背景，主要对有关解方程方面的知识内容进行考查，该题难度系数比较高，数集就是集合中的代表元素，也就是我们通常所说的方程的解，由于方程的解，除了受到函数定义域的限制之外，也受到函数定义域的限制，也就是说函数的解，必须与函数的定义域相符合，函数的解，则必须与函数的定义域相符合，但是，函数与函数的定义域分别限制了函数与函数的解。
又如，例题4，设，。
那么，，
得出，所以该题的正确答案应当选择（B）。
4.忽视隐含条件的含义
例题5：如果，非空集合能使成立的实数a的取值范围应当是（ ）。
（A）{1，9） （B）（1，9}
（C）（6，9} （D）{6，9）
错解：因为，所以，那么
