论流体压力形式的统一性和内涵多样化

聂千越 聂千翔

(⒈ 青岛西海岸新区第一高级中学 266555；⒉ 山东省日照第一中学(东校) 276826)

物理学习中要面对许多复杂的公式推导与数值计算，难免让人产生难懂之感.实际上，物理学是充满美感的，统一美便是其美感的一个典型特征.“窥一斑而知全豹”，本文以重力场静止流体和直线匀加速运动相对静止流体为研究对象，研究流体压力的分布的一般规律，探讨流体压力形式的统一性和物理参数内涵的多样化.

一、重力场静止流体的压力

重力场是典型的质量力场，地球上的一切物质都处于重力场中.工程中的许多问题，诸如液体容器的受力、船舶浮力和浮力矩设计、液压机械的受力等，都与重力场中静止液体的力学行为有关.

图1 重力场的静止液体

重力场静止流体单位质量力f=g.对于图1所示的坐标系统，单位质量力的分量表达形式为

静力学全微分方程为

dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)

(2)

将式(1)代入式(2)中，得到重力场静止流体的压力微分方程，即

dp=-ρgdz

(3)

对于不可压缩流体，ρ为常数，自由液面承受外界大气压p0，所以边界条件为p|>z=0=p0，对式(3)进行积分，可得

p=p0-ρgz

(4)

若用距离自由液面的深度h替代-z，压力则有更一般的表达形式

p=p0+ρgh

(5)

二、直线匀加速运动相对静止流体的压力

根据达朗贝尔原理，质量为m的物体以加速度a运动时要受到与加速度反方向的惯性力作用，惯性力为-ma，并且惯性力与物体所受其他外力构成平衡力系.因此，对于重力场中以加速度a运动的流体，其单位质量力为

图2 直线匀加速运动容器

f=-a+g

(6)

图2所示容器以等加速度a沿升角β的斜面做直线运动.设液体密度为ρ，自由液面的压力为p0，液体所受的

单位质量力为

fx=-ax+gx=-(gsinβ+a)

fy=-ay+gy=-gcosβ

fz=-az+gz=0

(7)

将式(7)代入式(2)中，可得容器中相对静止流体的压力全微分方程为

dp=-ρ(gsinβ+a)dx-ρgcosβdy

(8)

考虑边界条件p|>x=0,y=0=p0，对式(8)积分，可得

p=p0-ρ(gsinβ+a)x-ρgcosβy

对于式(8)，若令dp=0，积分可得自由液面方程，即

将式(10)代入式(9)中，可得

p=p0+ρg(y0-y)cosβ

(11)

由图2可知(y0-y)cosβ为研究点距离自由液面的竖直深度h，若令(y0-y)cosβ=h，则式(11)亦可写成

p=p0+ρgh

(12)

通过计算和适当的变换，重力场静止流体和直线匀加速运动相对静止流体的压力均可表达为p=p0+ρgh，但p0和h在不同场合其物理含义也有所不同.p0是自由液面的压力，也就是外界的大气压力.深度h均指研究点到自由液面的竖直距离，但表达形式不同，具体公式文中已列出.