学科素养背景下抽象思维创新的认识与培养

2018-08-15邓胜兴霍燕坤

数理化解题研究 2018年21期

邓胜兴, 霍燕坤

(1.广东省湛江市第十中学 524001；2.广东省湛江市岭南师范学院基础教育研究所 524048 )

一、数学抽象思维的内涵

高中三年是数学思维发展的重要时期，没有思维参与学习活动的教学是无效或低效的.长期由应试教育影响，部分教师采取短、平，快的教学方式，教学过程采取告知和灌输式，学生被动接授，忽视数学知识的形成过程，学生只能记题型，找套路，在繁琐的解题训练之中，苦不堪言，对数学产生了厌烦，阻碍了数学思维的发展，弱化了数学教育应有的价值，加重了学生的负担.

数学抽象思维是以空间图形和数量关系的具体背景为基础，舍去事物的一切物理属性，抽象出内在本质的属性和特征的思维活动过程.核心素养的培养就是着眼学生的未来发展和推动社会发展的能力培养，在数学教学过程中，根据学生的认知结构和抽象概括能力等情况，有意识地进行抽象思维培养的渗透，寻求抽象思维创新培养的有效策略与方法是每个数学工作者义不容辞的责任.

二、学科背景下抽象思维创新培养的认识

数学抽象创新能力为思维的发展不断注入新的活力，加深对数学本质的理解和个体数学知识信息的生成，在培养现代公民素养方面是不可或缺的.数学抽象思维的创新培养就是通过数学分析、抽象和概括思维活动，独立思考，严谨细致求证，理解数学知识的内涵和本质，构建知识体系，并能巧用知识处理数学问题，具备创新发展的能力和终生发展的思维品格，成为创新学习的主人.

1.抽象思维创新培养应关注层次性

抽象思维创新培养遵循由易到难、层次递进，不断完善的发展顺序.因此，在教学过程中，根据学生的认知情况，精心设计适合学生思维发展的教学内容，为学生抽象思维发展搭建脚手架，一步一个台阶，适时点拨和指引，引导学生主动参与讨论和进行思维碰撞，才能保证思维不断向纵深处发展.

2.抽象思维创新培养应关注生成性

波利亚说：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解是最深刻，也最容易掌握其内在规律、性质和联系.”遗憾的是，为了腾出时间进行高考复习，两年授完所有课程，剩下一年进行总复习，教师为了赶进度，讲授得多，学生被动接授，参与得少，对知识点理解不深、不透，一到考试则无从下手，畏惧数学.数学知识是数学核心素养成长的沃土，知识的生成需要时间思考和体会，因此，在抽象思维的培养过程中，教师要放慢脚步，让学生有充足的时间对知识的理解和运用，通过自主学习和丰富数学抽象活动，积累相关抽象思维能力有关知识，提高学生数学抽象概括能力，使教与学能够相互贯通.

3.抽象思维创新培养应关注系统性

数学抽象教学关注的是思维和知识的体系完整.学生的认知发展是逐步有层次上升的，但在这个期间是反复的、变化的.进行抽象思维创新培养，讲究的是动静结合，学生个体与班级交流互动有机联系.由于每个学生的知识储备和思维方式的差异，看待问题也有不同的看法，甚至表现为思路紊乱，陈述前后矛盾，知识相互割裂、相互孤立，缺乏条理性和整体性等.教师若能从学科的整体性，系统性考虑，穿针引线，将零散、杂乱的知识形成一个有机整体，实现点、线、面的结合，就会提高学生的概括能力和驾驭知识的能力.

三、学科素养背景下抽象思维创新培养的策略

数学是科学的皇冠，现代科技创新离不开数学.抽象思维在中学生的发展阶段起主导地位，数学抽象思维的创新培养需要以生为本，循序渐进，通过问题的情境化，洞察错因，有的放矢，构造模型，整体考虑，深化理解，提升素养.

1.在函数的单调性概念中进行抽象教学，层层深入，注重生成

数学概念反映的是数学本质和特征.理解数学，就必须掌握数学概念.

在概念教学中，教师应紧紧围绕核心知识，借助旧知，创设问题情境，引导学生对已知的信息和研究对象进行多方位、多维度的考虑，循序渐进，层层深入地进行探索和总结，归纳，得出正确的结论，形成概念.

例1 下图是某城市2016年某天24小时内的气温变化情况，从这张气温变化图获取相关数学信息.

师：请描述这一天气温随时间增大的变化情况？

生：零时至4时，气温逐渐下降，4时至14时气温逐渐升高，18时后开始逐渐下降.

师：画出y=x2的图象，结合图象说出函数y=x2在区间(0,+∞)上函数值y随自变量x的逐渐增大怎样变化？在区间(-∞,0)上，函数值y随自变量x的逐渐增大又怎样变化？

生：y=x2在(0,+∞)上随自变量x的逐渐增大，函数值y也增大；在(-∞,0)上随自变量x的逐渐增大，函数值y反而减小.

师：请结合y=x2的图象给函数的增减性下定义.

生：由y=x2图象可以得出：y=x2在(-∞,0)上函数值y随自变量x的增大而减小，故称y=x2在(-∞,0)为减函数；类似地，y=x2在(0，+∞)上y随x的增大而增大，故称y=x2在(0,+∞)为增函数.

师：请同学们完成下表并比较f(-1),f(2),f(3),f(4)的大小.

x-1234…f(x)=x2

生：f(-1)

师：由f(-1)

生：不能.

师：为什么？

生：由y=x2图象可知，y=x2在(-∞,0)递减，y=x2在递(0,+∞)增，因此在(-1，4)不是递增函数.

师：如果函数y=f(x)在(a,b)是减函数，在(b,c)是减函数，则在(a,c)上是减函数吗？

生：是减函数.

(有许多学生表情表现出困惑)

师：从上面的回答得到，说明函数的增减性，可以由图象直观得到，数学讲求的是严谨性，判断函数的单调性需要从函数的单调性定义加以论证，下面我们如何证明y=x2在(0,+∞)是递增.

生：从上面可知，只要在区间(0,+∞)上，任取两个自变量x1、x2，当x1

师：如何证明f(x1)

因为0

掌握数学，从理解数学概念开始.本节教学围绕函数单调性定义这个中心目标，设计步步深入，引导学生自主探究，逐步学会运用逻辑思维解决数学实际问题，用数学的语言来描述社会生活，发展他们的创新意识.

2.在基本不等式中进行抽象教学，创设问题情境，强化应用意识

数学与生活相互交融、相互影响.为了培养学生的抽象性思维，教师应结合学生的认知结构和教学内容为他们创造不同的问题情境，让他们积极融入有趣的数学课堂中.

例2 结合学生的生活实际，创设问题情境，抽象出基本不等式的定理和推论.

问题(2)某药店有一个两臂长度各不相等的天平，药店老板称量物体时，将物品放在左、右两个托盘中各称一遍，随后再把称量结果相加后除以2就是物体的实际重量.同学们，你们认为这种方法正确吗？

师：问题(1)中两种促销活动哪些会更实惠些？

师：若a=b，两种关系如何？

生3 ∵(a-b)2≥2,∴a2+b2≥2ab,

∴a2+b2+2ab≥4ab,

数学本质就是以简驭繁，用基本不等式的性质和推理解释打折问题和物理中的力矩平衡问题情境，培养应用意识，让学生思维的火花燃烧于课堂，愉悦的精神与融洽的学习氛围有利于学生启动思维积极探索，学会学习，提高解决实际问题的能力，增长智慧.

3.在三视图教学中进行抽象教学，建构图形，整体把握

心理学认为人类观察事物的意识印象就是显示出事物的整体性，整体把握就是在认知的过程中把客观对象当成一个整体看待.在空间立体几何中，三视图是培养学生空间想象能力的重要组成部分.高考对三视图知识的考查很重视，而考查的几何图形位置比较复杂，不容易把握，得分率特低，学生有畏惧心理.我们知道，复杂的图形来源于简单图形的演变，在空间几何中，长方体(或圆柱)是我们最熟悉的图形，三棱锥(或圆锥)、四棱锥、六棱锥等都可以由它切割生成.因此在高三数学教学中可以多方联系和想象，拓展思维，构建立体交叉图形的知识体系.

例3 已知空间图形的三视图如图2所示，求这个几何体的全面积.

师：从图形分析，可以判断所求几何体是什么图形？

生：正视、侧视和俯视图都是三角形，可以判断所求的几何体是四面体.

师：四面体一般放在什么图形中思考？

从图形的特征出发，将复杂的图形镶嵌在长方体或圆柱中考虑，通过观察、实验并运用计算机等媒体手段，寻找问题的关联点，掌握图形变化的规律，化难为易，化繁为简，以不变应万变，驰骋想象，发展智力.

4.在直线与圆的位置关系中进行抽象教学，一题多变，触类旁通

人的思维是依次发展，不断完善的.善于学习的人，往往都是善于归纳的，思维也是很活跃的，善于从复杂的事物中找出具有规律性的东西.因此，教师要把主动权还给学生，引导学生从问题的多个方面进行探究，在数学探究的同时学会知识，理解知识，发现规律，总结规律，并善于利用规律解决问题，从而促进抽象思维可持续性发展.

变式3：已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=R2上一点，求经过点P的切线方程.

变式4：已知点P(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=R2上一点，求经过点P的切线方程.

从一题出发，实施变式训练，引导学生多角度思考或对同一个问题的不同层面进行探究，就能抓住问题的本质，提炼方法，触类旁通，形成能力.

5.在数列教学中进行抽象教学，释疑纠错，内化提升

“试错”是通往成功的垫脚石，错误的本身更可以让我们了解到自己存在的不足.每一个知识点的学习总是伴随着从错误中走来，在错误中不断完善和建构.在学生出现错误时，教师应耐心点拨学生自己寻找错误的源头，究竟问题错在哪里？通过剖析和反思，发现自己对知识内容理解不够全面和透彻，找到自己薄弱环节，进行加强巩固，主动建构和完善知识网络.