一种新的EIT成像优化方法应用*

张 明， 岳士弘

(天津大学 电气与自动化工程学院，天津 300072)

0 引 言

电阻抗断层成像(electrical impedance tomography,EIT)技术[1]用于对对象边界元素信号处理，通过在对象的外围电极进行电流激励并测量电压。基于其关系对对象的横截面的分布进行重建。影响重建图像效果的主要因素有：1)电场的扩散特性导致的“软场”效应;2)灵敏度场的非线性导致的严重不适定性;3)测量数据数少于重建图像像素数所导致的不确定性[2～4]。上述因素导致其空间分辨率比较差，阻碍了常规EIT系统的发展及应用。吉洪诺夫正则化方法可较好地解决上述问题，但作为一种基于二范数正则化方法，易使图像边缘过于平滑，导致重建图像清晰度较低[5]。

本文应用了一种新的优化成像算法，可以更有效地减少数据的维数，最大限度地减少几乎所有的鲁棒损失函数且在实践中收敛速度较快。

1 相关理论

EIT中有2个主要的问题：正问题和逆问题。EIT成像的正问题，是指已知对象区域内的电阻抗分布和激励电流，确定边界电压分布的问题,可以通过物理模拟和有限元离散化方法(finite element method,FEM)进行数值求解。边界电压可通过下式求解[6]

V=U(σ;I)=R(σ)I

(1)

式中U(σ；I)为电导率分布σ和注入的电流矢量I与边界电压矢量V间的正向模型映射；R(σ)为电导率分布σ与电阻的关系。

EIT成像的逆问题，是指已知激励电流和边界测量电压，得到内部电阻抗分布及变化的问题，亦称为图像重建。求解线性方程为

δU=U′(σ0)δσ=Jδσ

(2)

式中δσ∈Rn×1(n为重建图像的像素的数目)为电导率分布σ的变化；δU∈Rm×1(m为独立的电压测量的数目)为由于σ变化导致的边界电压的扰动；J∈Rm×n为Jacobian矩阵。在EIT中，Jacobian矩阵可以通过基于格塞洛维茨灵敏度方法快速计算。本文研究了一个256的测量数据的16电极EIT系统。重建图像中，含有812个像素。EIT逆问题的任务是快速有效地从已知的参数寻找到电导率的分布。

采用正则化方法解决不适定问题[7～9]，一般形式为

(3)

x=(ATA+λI)-1ATb

(4)

由于区域中的不同部分的导电性不同，因此，假设各部分的权重相同是不适当，可能导致失去有用的信息。吉洪诺夫正则化方法相当于空间平滑滤波器，虽然其仍然保持重建过程稳定，但总是对重建图像的边缘施加不必要的平滑，并降低了有效信息的空间分辨率。

2 成像算法

在传统吉洪诺夫正则化方法的基础上，G(x)取不同的形式将会得到不同解。对其进行了改进，得到正则化算法1和正则化算法2的2种形式，成像效果得到很大提升。

2.1 正则化算法1

阻尼最小二乘重建算法

x=(ATA+λR)-1ATb

(5)

式中λ为正则化参数，通过调整正则化参数可以改变阻尼效应；R为正则化矩阵，R=diag(ATA)；b为电导率的变化;x为两种不同的电流激励下的成像目标的阻抗变化。令P=ATA，由于P和R具有相同的数量级，一般使λ在0～1间取值。与其他正则化算法相比，λ变化范围小，易于选择，因此，成像结果更为理想[10,11]。

2.2 正则化算法2

阻尼最小二乘重建算法

x=(ATA+λR)-1ATb

(6)

式中R=diag(sum(A))。其他同上[12,13]。

2.3 改进的优化算法

在以上2种算法的基础上，进一步优化，得到一种一般形式的优化成像算法。该方法可以更有效地减少数据的维数,几乎可以无代价地减少目标函数的损失值。

对于一般性的问题

(7)

式中hi(x)为在gi(x)上的一个任意凹函数。

通过以下算法解决

1)初始化:x∈c，Di=I；

2)通过最优解矫正式中x的值

4)迭代步骤(1)～步骤(2)直到其收敛。

其中,hi(gi(x))表示凹函数hi(x)在点gi(x))的导数。

进而，得到以下算法[14～16]：

1)初始化D为一个单位矩阵D=I，设置最大迭代步骤K，并选择该算法的初始解；

2)通过w=(XXT+rD)-1Xy修正w的值；

3)计算对角矩阵D，其第i个对角元素为

4)迭代步骤(2)～步骤(3),直到收敛。

3 仿真实验和结果评价

3.1 仿真结果

为了评估新的优化方法的性能，进行了8个不同内部分布的仿真试验。在仿真模拟中，采用16电极EIT系统，电流选用0.1 A；使用有限元法求解EIT正问题；在COMSOL3.5a中采用自适应一阶三角网格用于正向计算；采用相邻的电流激励和相邻测量方案得到测量电压；因此，测量的边缘电压值的数目为256；重建的图像使用812个像素的网格。在重建图像中，背景的电导率设置为1 S/m，对象的电导率设置为2 S/m。

使用3种不同的算法对相同的数据重建图像。为了更好地比较算法，图1列出了所有重建的图像。

图1 不同算法的8个模型重建图像

3.2 评价参数

3.2.1 相关系数

采用原始图像与重建图像的相关系数对重建图像质量和成像算法质量进行评价。相关系数[17～19]为

(8)

表1 原始图像和重建图像的相关系数

可以看出：相较于标准的正则化方法，新方法得到的相关系数更大。

3.2.2 相对误差

相对误差(relative error,RE)反映原始图像与重建图像之间的误差。对于不同的图像，重建图像和原始图像之间的相对误差为

(9)

式中σ计算出的电导率;σ*为在模拟分布的实际电导率。表2给出了3种方法的相对误差为

表2 原始图像和重建图像的相对误差

可看出：相较于标准的正则化方法，新的优化方法得到的相对误差更小。

4 实验测试

为了评估新的优化方法的可行性，采用的天津大学设计的16个电极的实验系统进行了静态实验。将不同尺寸的塑料棒放置在自来水中，16个电极以相等的间隔安装在容器周围。对相邻电极进行激励，测量所有剩余的相邻电极对之间的电压差，并依次进行循环。真实的电导率分布和重建图像如图2所示。

从实验结果可以看出：本文提出的新的优化方法较其他2种正则化方法均更为精确。

图2 不同算法对塑料棒模型的图像重建

5 结 论

提出了一种新的优化方法，以提高电阻抗层析成像的重建精度。仿真结果验证了新的优化方法具有良好的性能。在不同内部分布条件下，与标准正则化方法相比，新算法可以获得更好的空间分辨率。优化方法重建图像的质量优于2个正则化方法，表明其可用于不同的边缘特征模型的图像重建，尤其对于非光滑目标检测中效果明显。