一道课本例题的改编与教学启示

☉湖北省阳新县白沙中学 罗 峻

课本是教育专家依据数学课程标准，经过反复审编形成的教学素材，其基本理念、基本要求具有导向性和科学性.课本也是日常教学的基本范本，更是学生获得数学基础知识、数学基础技能、数学思想方法，积累基本活动经验，形成数学素养的重要载体.在平时教学中，我们要最大限度利用课本素材，发挥出课本无法替代的优势，应以课本中的例、习题为蓝本，进行类比加工，改编成思维含量较高又符合学生当前认知规律的题目，这样能有效避免“题海战术”，引导学生远离资料的干扰，减少收集过多教材以外的题目，减轻学生的课业负担，发挥良好的教学导向功能.下面请看一道平凡的课本例题.

一、课本原题

题目：如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长.

这是人教版八年级下册第53页的例题.题目重点考查矩形的性质：矩形的对角互相平分且相等.加入60°的条件，产生了许多特殊的三角形，如等边三角形：△AOB和△COD；底角为30°的等腰三角形：△AOD和△BOC；含30°角的直角三角形：△ABD、△ABC、△CDA和△CBD，并且每组三角形分别全等.当然，课本试题的解答相当简单，几乎一望而知.如果仅仅就题论题，无疑会浪费宝贵且有限的课本资源.如果能深入挖掘，充分利用基本图形的结构，进行改造、增加条件，就能帮助学生实现知识的整合、方法的迁移，提升学生综合运用数学知识的能力.

图1

二、题目改编

变式（一） 基本图形不变，增加角平分线的条件，求角的度数

例1 （祖冲之杯邀请赛）如图2，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.

评析：本题主要考查从复杂图形中分解和发现基本图形及运用图形性质的能力.根据已知条件和例题结论，发现AB是等边△ABO和等腰Rt△ABE公共边，从而得出△BOE是等腰三角形，易求∠BOE=75°.

变式（二） 基本图形不变，增加角平分线的条件，求线段长

例2 （2018初中数学联赛）如图3，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1，∠CAE=15°，则BE=（ ）.

图2

图3

图4

评析：BE所在的三角形ABE不是特殊三角形，无法直接求解，也无法直接求出DE的长.联系到课本例题的图形，如图4，延长AE并过点E作BC的垂线，由60°和45°的条件得到特殊三角形——等腰直角三角形、等边三角形和30°角的直角三角形，再用线段之间的关系，建立方程即可解决问题.设BE=x，则因为BF=BH+HF，所以x，解得x=-1，所以BE=-1.故选D. 这样的题目设置，较好地考查了学生综合利用已知条件分析问题的探究能力，其中，作出辅助线、建立方程是解题的关键.

图5

变式（三） 基本图形不变，增加角平分线条件，判断多个结论是否成立

例3 （齐齐哈尔中考）如图5，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论：①BO=BF；②CA=CH；③AF=FH；④BE=3ED.以上结论正确的有______.

评析：正确的结论是①②④.本题沿袭了变式一和变式二的图形，并在此基础上更进一步丰富图形的结构，难度进一步加强.解题的关键在于找出特殊的三角形，并利用特殊三角形的性质得出相关的线段长，对于正确的命题可以推理证明；而对于错误的结论③，则先假设其成立，再结合其他条件推导出与题目不符的结论，从而判断结论③错误.

变式（四） 保留题干，探求阴影部分面积

例4 （孝感中考）如图6，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F，若∠ADB=30°，AB=4，则阴影部分面积之和是______.

图6

评析：本题难度不大，运用矩形是中心对称图形和旋转的性质将分散的图形集中在同一个三角形ABD中，所以阴影部分面积之和是8.从整体着眼探究问题，从整体上把握问题的解答，往往使解题变得思路清晰，步骤简洁.

图7

变式（五） 保留题干，添置一条平行线，求图形面积

例5 （肇庆中考）如图7，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.

评析：本题在课本例题的基础上新添一条平行线，便出现了新的图形——平行四边形和直角梯形，求解直角梯形的面积.这样的题目设置使四边形的类型更丰富和多样化，解题时需厘清各种四边形的性质与属性，难度不大.四边形ABED的面积

变式（六） 保留题干，增设两条平行线，求线段长

例6 （深圳市宝安区期末）如图8，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，AE与ED相交于点E，连接BE交AC于点F，若BE⊥ED于点E，AE=2，求CF的长.

评析：增设两条平行线后，出现了特殊四边形——菱形，还发现Rt△BED中，DE等于BD的一半，所以∠EBD=30°，进一步∠AOB=60°，这样，通过剥离条件，便是课本例题的图形，易求CF=FO+OC=3.本题图形复杂，从复杂的图形中提取出熟悉的图形是解题的基础，需进一步运用各种图形的性质综合解题，有一定的难度.

变式（七） 保留题干，加入垂直因素，探求定值

例7 （希望杯改编）如图9，矩形ABCD中，已知AB=BO=1，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为______.

图8

图9

图10

评析：由矩形对角线相等且互相平分的性质和AB=BO知，△ABO是等边三角形，其本质即“课本原题”，由已知条件中的两条垂线，联想到三角形的高，从而运用面积法解题.连接PO.由DO=BO，得

几何定值问题，指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些性质或位置关系不变的一类问题.解决此类问题的基本方法是：分清问题的定量与变量，运用特殊位置，先探求出定值，再给出解答过程.本题抓住△AOD的面积是个不变量，用等积法求解，显得简洁而自然.

变式（八） 保留题干，加入等长线段，探求最值

例8 （2018黄石中考模拟）如图11，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=BO=4，M是矩形外一点，且MO=DO，求AM·MC的最大值.

评析：易知△ABO是等边三角形，再由“一边的中

线等于这边的一半的三角形是直角三角形”知，△AMC是直角三角形，而所求问题是AM与MC的乘积的最大值，则问题转化为求△ACM的面积的最大值.

图11

而AC=2AO=8. ②

把②代入①知，8h=AM·MC，

要使AM·MC最大，只需AC边上的高h最大即可.

由“垂线段最短”知，OM≥h，

因此当h=OM=4时，h最大，

即当OM⊥AC时，AM·MC的最大值是8×4=32.

在动态几何问题中，当某几何元素在给定条件变化时，称求某几何量的最大值或最小值问题为几何最值问题.这类问题一般都可以归结到两个基本原理上，一是两点之间线段最短，二是垂线段最短.实际解题时，需弄清题目的条件，把握图形特点，动静结合，执果溯因，打开此类问题的突破口.

变式（九） 隐藏一条对角线，探究多个结论

例9 （丹东二模）如图12，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC，分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（ ）

图12

A.4 B.3 C.2 D.1

评析：本题看似与“课本原题”无关，通过剥离已知条件进一步挖掘结论，得到∠CAB=30°，如图13，连接对角线后，则问题与“课本原题”同出一辙.可见通过隐藏主要线段来设置考题是加大题目难度的一种手段.熟悉基本图形的结构，并运用图形所蕴含的结论，与其他条件综合分析，问题则迎刃而解.正确的结论为：①③④，选B.

图13

图14

变式（十） 弱化条件，与相似结合.

例10 （武汉中考）如图14，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点G，E是AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为（ ）.

A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③

评析：本题去掉60°的条件，使图形向一般化转换，增加了直角的条件，便出现了射影定理的基本图形，以其中一对相似三角形为基本结论，可逐个推出其他三角形相似.

由∠4=∠5，∠BAD=∠ADC，得△BEA∽△ACD，即①正确.由射影定理知，AE2=EF·BE，又AE=DE，那么=，∠FED公共，因此△DEF∽△BED，故②正确.

由结论②△DEF∽△BED知，对应角∠1=∠2，

由外角知，∠3=∠1+∠4，而∠ABG=∠2+∠5，

又∠4=∠5，因此∠3=∠ABG，

又AB∥CD知，∠BAC=∠DCG，

由两角相等知三角形相似得△CFD∽△ABG，即③正确.

△ADF是钝角三角形，△CFB是直角三角形，所以④错误.

因此①②③正确，选D.

当然，这类弱化条件的考题还有很多，限于篇幅，此处不再列举.

以上题目有的是竞赛题，有的是中考题，它们都改编自这个课本例题，一个看似平淡无奇，索然无味的素材，但命题者独具慧眼，再起波澜，这对日常教学与中考命题都是一个很好的启示——最不起眼的，最是大乾坤.生活中不是缺少美，教育者的浮躁与轻率，遮蔽了最好的教学资源，考题留给我们的，是深刻的反思.

三、教学启示

1.用好教材整合教材，提高效率

课本是学生学习的主要课程资源，素材常常是陈述性的，是相对固定和静态的，教师的一个重要任务就是在教学中拓展这种学习的平台.这就要求教师恰当地“用教材”和整合教材，设置恰当的问题情境，帮助学生自主探索和合作交流；激发学生的学习动机和好奇心，调动学生思维的积极性，给学生提供学习数学活动的时间和空间.教师要扮演好数学教学活动中的新角色——组织者、引导者与合作者，适当改变学生的学习方式，让学生经历探究问题的过程，并体会探究问题带来的成功和乐趣.

叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还要靠教师的善于运用.”教材中重要的例习题，或者提供重要的结论，或者体现某种数学思想，或者是更高层次数学命题的具体形式，它的延伸、转化和扩展，呈现出丰富多彩的数学世界.通常例题的选择，既要求知识覆盖面广，又要突出重点，有利于强化“四基”，揭示解题的一般规律，还要注意例题要有启发性、应用性、创新性.而习题的设计，要求习题有纲目作用，显示知识之间的内部联系，体现知识的系统性和条理性，习题要有强化作用，习题设计要面向全体，要在知识难点上加强练习，以便使各种程度的学生都有收获，特别要找出多数学生的薄弱环节，有的放矢，设计相应的习题，习题要有启发作用，通过习题的典型性以点带面，举一反三；精选数学课堂教学中的范例还需注意不能局限于教材原来的例题、习题的形式，根据教学需要，调整教材例题和习题的位置.因此，教师应努力钻研教材，合理补充能够凸显教材内容的范例，全面把握学习内容的地位与作用，深刻理解学习内容的数学本质，理解相关内容的数学教育价值，把握知识生成的线索，掌握核心知识和核心思想方法，保证教学设计的针对性和合理性，提高课堂学习活动的数学认知发展价值，提高课堂教学的效率.

2.改编拓展课本例题，发展思维

目前教育改革的核心任务是“立德树人”，根本任务是发展学生的核心素养.在数学学科中，发展数学思维是重中之重，因此在数学课堂中，通过例题教学来发展数学思维是不二的选择.著名数学教育家波利亚在《怎样解题》中指出：数学例题教学的目的不仅是为了运用新知，更重要的是培养学生的解题能力和思维能力.即不以题论题，学会思维的发散性和延伸性，从广度和深度两方面去培养.

我们知道，培养学生解题能力，掌握思维方法，是一个比较复杂和漫长的过程，但只要以课本中的例、习题作为载体，发挥其潜在功能，充分运用，并挖掘、延伸和改造运用，一定可以提高课堂效率，切实提升学生的综合能力.为什么选用课本的题目进行改编呢？正如章建跃博士所说：“教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的.”因此在进行数学教学时，面对教材，我们应该怀有敬畏之心，认真研读，体会教材中的结构体系、内容顺序、语言组织、例题和习题的意图等，而不应舍近求远，热衷导学案，热衷教辅，大搞题海战.但为什么师生却乐此不疲呢？一个重要原因是教材中的例题看上去太简单，太平庸，教师觉得无法应付中考，也没有着力进一步挖掘例题的深刻内涵.

其实教材的例、习题内涵丰富，教育教学功能多样，具有很强的探究性.当完成一个问题的解答后，有必要对该题的内容、形式、结构等，做进一步的探讨，认真掌握例、习题所反映的问题的本质.如果能对一个内涵丰富的例、习题进行一题多变，从中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现不变，必将使学生加深对解题方法的理解，掌握典型题目的解题规律，培养学生的创新思维.

“问渠哪得清如许？为有源头活水来”，对于教材例、习题这一源头活水，需要我们去认真领会和仔细研究.教师设计例题的时间花得多一些，学生练习的时间就会少一些；设计的例题精一些，学生就会学得活一点，好一点.在数学教学中，要重视教材中的题目，做到立足课本，回归教材.我们也期待有更多更好的试题源于课本，这时就会不由自主地想起张奠宙先生说过的一句话：“当考题发源于课本的时候，那些大搞傻练、死练者就会觉得得不偿失.”