明晰学段要求，践行单元教学——以“与三角形有关的角”单元起始课为例

☉山东省泰安市泰山学院附属中学 贾贞锋

当前不少版本的初中数学教材上关于“与三角形有关的角”的教学都安排了多个课时，并且第1课时都是安排三角形的内角和的教学，第2课时安排直角三角形两锐角互余，并由此拓展得出三角形外角的性质.根据教学实际，一般后续还会安排2节课开展与三角形的角相关的习题教学.最近我们在研习全国著名特级教师李庾南老师相关著作、文献资料时发现，李老师及其团队倡导的“三学”（即学材再建构、学法三结合、学程重生成）对一线教师的课堂教学设计与组织有着直接的指导价值.本文课例就是以“三学”为指导，整合教材，对三角形的角的教学进行教材重组，实施的“与三角形有关的角”单元教学的起始课.

一、“与三角形有关的角”单元教学起始课

教学环节（一）复习引入

引导语：前面我们刚学习了三角形的有关概念，与三角形有关的重要线段，我们也知道了三角形中两个重要元素：边和角.本节课开始，我们就来学习与三角形有关的角.

问题1：三角形共有几个内角？这些内角之间有怎样的数量关系？

预设：3个内角，它们的和为180度.接下来安排学生进行实验活动.

活动：在小学同学们就知道了三角形内角和为180度，你们也通过剪拼的方法进行了验证，请大家拿出课前准备的三角形纸板，小组合作再做一次剪拼三角形内角和为180度的实验吧！

教学组织：学生剪拼之后，安排一个小组派一个代表上台演示（如图1到图2），大家确认三角形内角和为180度之后，进入内角和定理的证明环节.

图1

图2

教学环节（二）证明定理与成果扩大

过渡：同学们刚刚回顾了小学里如何用拼图法验证三角形的内角和为180度，作为一种实验确认是可以的，但数学的特点在于不满足于实验确认和直观感知，需要走向一般进行推理证明.接下来大家画出三角形，写出已知求证，尝试证明吧，建议同学们先独立思考、证明，再在小组内交流各自的证明方法，最后我们再挑选小组代表分别上台进行全班交流.考虑到课堂时间有限，我们在课上只安排学生展示如下两种典型的证明方法（如图3，图4）.

图3

图4

证明之后，教师板书三角形内角和定理及符号表示，并提醒学生三角形内角和定理揭示了三个内角之间的一个等量关系，只要知道两个角的度数，就可以求出第三个内角的度数，进一步安排学生举例，小组之间分别举例求度数.

问题2：同学们手头的直角三角板，大家研究一下，它们的角有什么数量关系？

预设：直角三角形的两个锐角互余.这里注意到直角三角板是比较特殊的三角形，但只要是一般直角三角形，都可以利用三角形内角和推出两个锐角的互余关系.教学时引导学生辨析从特殊走向一般的数学思想.

问题3：上面研究了直角三角形两个锐角互余的情况，对于数学问题的学习与研究，我们常常在原命题研究之后，还可进一步逆过来想，即思考它的逆命题.那么当一个三角形有两个内角具有怎样的数量关系时，它是直角三角形呢？

预设：学生可能会有不同的理解，比如：

三角形中两个内角互余时，第三个内角为直角；

三角形中两个内角的和恰等于第三个内角时，该三角形为直角三角形；

三角形中两个内角的差恰等于第三个内角时，该三角形为直角三角形.

当学生给出这些命题之后，教师需要追问如何证明，引导他们利用新学的三角形内角和性质进行证明.

问题4：同学在证明三角形内角和定理时，用到了图4这样的基本图形，这里涉及到三角形的外角，如∠ACF，由三角形一边的延长线与三角形一边形成的角，称为三角形的外角.大家想想，三角形的一个外角与内角之间有怎样的数量关系？

预设：一个外角与相邻的内角是互补的关系；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.这里学生发现之后，教师通过简要的追问，让学生说出证明思路即可，不过多展开细节，因为本课教学内容较多，教师只需及时把学生的发现整理到板书相关位置即可.

以上的问题3、问题4可以看成是对三角形内角和定理的成果扩大.

教学环节（三）例题教学

过渡：前面大家的探究成果很丰富，也举例进行了一些练习，下面老师也带来一个题组，帮助同学们巩固新知.

例题：如图5，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°.

图5

（1）求∠C的度数.

（2）设点D为边BC上一点，连接AD，当AD为△ABC高时，你能求出图形哪些角的度数？

（3）在（2）的基础上，再画另一条高CE，设它们交于点O，求∠AOC的度数.

（4）将前面所探究的两条高改成两条角平分线AD，CE，此时还能求∠AOC的度数吗？

教学组织：这一组题通过PPT渐次呈现，前一问学生解出之后安排学生讲解思路，教师引导学生参与评析，然后再呈现下一问题.其中第（4）问可以根据课堂教学时间相机呈现，如果时间偏紧，学生在解答前面的问题时用时较多，则第（4）问留作课后挑战.

教学环节（四）小结提升

课堂小结时，把黑板上一些知识内容用框架线完善起来（图6为板书示意图）.

注意，板书中提到的“三角形的外角和为360°”在前面教学中没有涉及，这是安排在全课小结的一个精心设计.

图6

引出板书中三角形外角和为定值的探究问题，安排学生思考三角形的外角和为多少度？如何证明？最后形成完善的知识框架体系（在板书中补出“三角形的外角和为360°”）.

我们以PPT给出著名数学家陈省身先生的一段话：“人们常说，三角形内角和等于180°，但是，这是不对的！”

老教授对这句话作了精辟的解释：说“三角形内角和为180°不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应该说“三角形外角和是360°”！

二、教学立意的进一步阐释

（一）深刻理解教学内容，明辨学段要求，精准设定教学目标

三角形相关的角在小学阶段就学过，并且学生已经知道三角形的内角和为180度，这些都不能简单的在初中课堂上重复、空转，应当快速通过，基于深刻理解教学内容的高度，引导学生认识到实验、操作、直观获得的经验和结果，还需要进行推理证明，这也是数学的特点.基于以上认识，我们确定了本课的教学目标就是证明三角形内角和定理，并由三角形内角和性质出发，推理直角三角形两锐角互余的性质；掌握三角形外角性质与外角和为360度的性质.而考虑到教学时间的限制，例习题的教学不是本课的主要任务，所以我们只安排了一个题组进行训练，在后续教学中再进行相关的例习题训练.

（二）精心预设课堂小结，构建知识框架，相机变式拓展提升

不少老师的课堂小结以“今天我们学到了什么，掌握了什么知识或方法，你有什么经验与同学们分享？”之类的套话来小结.我们从这节课例的构思中发现，可以在小结阶段对本课所学的知识、性质或定理进行框架式的构建，完善、充实相关内容，让学生通过课堂小结知晓本课所学知识的大致框架、脉络，并且根据学情进行适当的拓展提升.比如，课堂最后，我们通过数学家陈省身先生的名言引出了外角和的性质.这种性质将对应着后续学生会学到的任意多边形的外角和为定值（一个周角）.

三、写在后面

简单的内容如何教得深刻、教出新意，是值得我们认真思考的，我们关于三角形的相关角教学起始课只是一次积极的尝试，期待老师们围绕相关课题开展同课异构，丰富这个课题的课例研究.