基于发散性思维培养的数学课堂建构探索——以“同旁内角”的概念教学为例

☉江苏省如皋经济技术开发区实验初中 谢培培

初中数学教学不但要关注学生对数学知识的学习，更要注重学生思维素质的发展.其中，学生的发散性思维更是数学思维灵活性的基本体现，那么如何围绕学生发散性思维的培养来建构我们的初中课堂呢？下面，笔者就以“同旁内角”的概念教学为例，探讨一下自己在教学中的实践和操作.

客观地讲，同旁内角是一个很简单的概念，但是学生在实际问题中很难找准同旁内角，原因何在？笔者认为这主要是七年级的学生才刚刚系统化地接触几何，他们的几何直观能力还在逐渐的培养过程中，而且初次接触某些新的概念，学生的思维总是束手束脚.这也表明我们发展学生发散性思维的必要性，同时这一课题也可以成为学生发展发散性思维的一个重要素材，我们还可以通过对学生的指导和启发，引导他们采用不完全归纳的方法总结同旁内角的寻找方法.以下是笔者教学过程的基本设计.

一、总结概念，明确内涵

提出问题：如图1所示的情境中，有两条直线AB和CD，它们被同一条直线EF所截，形成了若干个角，请辨析∠1与∠2；∠3与∠4分别存在哪些共同的特点？

学生观察图形，并结合自己的思考在小组内部进行交流，最终汇总出如下结论：上述两组角有以下三个特点：都存在两个顶点；都出现在两条直线之间；都出现第三条直线的同一侧.

在此基础上，教师引导学生进行总结：我们将满足上述条件，且能搭建成一个“U”字形图形的两个内角叫做“同旁内角”.

图1

二、理解概念，延展认识

在学生已经对概念形成初步认识之后，教师提供问题，引导学生在应用中理解概念.

例1 如图2所示的图形中，请确认一共存在几对同旁内角？

学生分析这个问题时的唯一工具是同旁内角的概念，教师也在学生的思考中有意识地引导他们对概念进行剖析，“同旁内角”这个概念的核心应该落在“同旁”和“内”这两个词，其中“同旁”要求角要落在截线的同一侧，“内”意味着两个角应该在两条直线之间.在具体处理过程中，学生在图上要准确把握两条直线和那条截线，最终他们明确了以下三种情形：（1）AB、DE两直线被BD所截；（2）AB、DE两直线被BE所截；（3）△BDE的任意两条边都被它的第三条边所截.

在此基础上，学生给出了这个问题的最终答案：共有五对同旁内角，它们分别是：∠CBD和∠D；∠DBE和∠D；∠ABE和∠E；∠DBE和∠E；∠D和∠E.

图2

三、绘制辅助线，化解难点

在学生通过例1对概念形成一定认识之后，教师再为他们提供难度稍大的问题，引导他们展开探索.

例2 请找出一个三角形和四边形中分别存在多少对同旁内角？

图3

这是一个纯文字的问题，学生初次接触这个问题大多会感到无处着手，因为他们才刚刚开始学习几何，对几何问题的处理思路还不够熟悉.在小学阶段，他们也接触过一些几何问题，但是基本都是题目自带图形，学生按图索骥即可.而在初中阶段，很多问题的处理需要学生自己构建图形，这一点在学生以后运用数形结合的方法来处理问题时体现得尤为明显.为此，我们指导学生自己绘制图形，但是一般的三角形和四边形都是由线段拼凑而成，而我们的同旁内角则是通过直线定义的，为此我们可以指导学生构建辅助线，将陌生的数学问题以更加形象的方式展示出来.我们指导学生延长三角形和四边形各边所在直线，如图3所示，然后学生即可精准把握三角形中的同旁内角存在三对，四边形中的同旁内角存在四对.

四、在类比中归纳，提炼经验

分析过三角形和四边形中同旁内角的存在情况，我们指导学生探求n边形（n≥3）中所对应的同旁内角有多少对？

学生从三角形和四边形的结论入手，再列举出五边形、六边形等等，并最终确认两个相邻的内角都是一对同旁内角，这时学生给出结论：n边形（n≥3）中存在n对同旁内角.

教师在此基础上肯定学生的结论，并帮助学生明确这里采用了不完全归纳法.

1.构造变式，训练发散性思维

从三角形和四边形到n边形（n≥3），学生对同旁内角已经有了较为深刻的认识，这时教师提供变式.

例3 现有一n边形（n≥4），如果连接一条对角线之后，这个图形一共存在多少对同旁内角？

有了之前问题的铺垫，学生已经普遍明确n边形中存在n对同旁内角，在此基础上，我们在其中补上一条对角线，然后安排学生运用不完全归纳的方法进行探索和研究.学生画出如图4所示的情形，然后开始分析，增加了一条对角线之后，这个图形即增加了四个角，这四个角本身就存在两对同旁内角，同时每一个角还与原图形中的已有内角构成一对同旁内角，因此最后的答案应该是（n+6）对.

图4

这个问题是在原有问题上的延展和变形，让学生充分体验到数学问题的多变性和灵活性，学生的发散性思维能因此得到训练.

五、举一反三，培养创新意识

发散性思维有助于学生挣脱原有思维体系的束缚，该思维能力也必将促使学生的创新意识的发展.为了实现这一目的，笔者设计了以下问题，引导学生展开分析和探索.

例4 现有一个n边形，如果从其内部的一点向各个顶点引出连线，请问这个图形有多少对同旁内角？（考虑本题的难度，姑且不讨论这里所选择的点和图中多个点共线的情况.）

学生自己绘制出如图5所示的图形，其中图中的I点是原n边形内的一点.学生在观察中发现从I点向各个顶点引出的连线将把n边形划分为n个三角形、n个四边形、n个五边形等等，当然还有一个n边形，他们在讨论中明确可以先将这些图形中总的同旁内角对数加起来，然后将重叠的减掉，即为最终结果.当然，我们还可以继续提问：如果是从n边形的外部一点向着各个顶点来连线，结论又如何呢？进一步地思考，让学生得到更加充分的训练.

综上所述，在指导学生研究同旁内角时，帮助他们掌握概念是基础性目标，训练他们灵活而充满变通的思维则是核心任务.在上述教学过程中，我们灵活创设情境，引导学生自己绘制图形，并通过图形的观察和研究，最终形成结论，这样的教学有助于学生发散性思维能力的培养，也有助于他们创新意识的提升.

图5