精准诊评与铺垫设问：答疑解惑的专业能力

☉江苏省苏州工业园区槟榔路星湾学校（西校区） 汤义佳

近读《中学数学》（下），有同行谈及教师的基本功应该包括“答疑解惑”（详见文［1］）.作者引韩愈的《师说》：师者，所以传道、授业、解惑也.并类比数学教学，指出：教师解惑质量的高低也影响着学生对数学的兴趣，对教师专业基本功的认可.笔者深有同感，结合近期给学生个别答疑的一些题例，阐释笔者的一些体会，提供研讨.

一、答疑解惑的案例呈现

例1 过钝角的顶点向一边作垂线，将该钝角分成两个角之比1∶6，求这个钝角的度数.

学生解法：该学生成绩优秀，向笔者求助，说画出图形，如图1，设出x，6x之后，根据三角形内角和定理列出方程是恒等的，但又不知道错误在什么地方.

图1

答疑记录：首先该学生有一个潜在假设，就是认为这道习题没有给出图形，当他看到过钝角顶点向一边作垂线时，就想当然地认为是一个钝角三角形，然后过钝角顶点向该钝角的对边作垂线，从而走进错误的解题方向.以下是答疑时的一些引导性问题：

问题1：你是怎么理解角的概念的？什么是角的顶点？什么是角的边？你可画图说明.（学生画图指出了有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点为角的顶点，两条射线称为角的边）

问题2：你是如何理解作垂线的，你学过哪些作垂线的方法？举例说说.（学生结合画图说出了两种情形，过直线上一点作已知直线的垂线，过直线外一点作已知直线的垂线）

问题3：这道题中涉及的图形是角还是三角形？（学生：是角.但向一边，就理解成了三角形的边）

问题4：如果是确认是角这个图形的，过钝角顶点作一边的垂线，属于过直线上一点作该直线的垂直，你该如何调图形呢？

学生画出图2，解出x＝15°，于是该钝角度数为105°.

图2

图3

问题5：由于该题没有明确是角的哪一条边，你觉得还有不同的情形吗？

经过追问，学生想到了另一种情况，画出图3，计算出来的结果仍然是105°.

教师小结：很好，这道题是两种可能的图形，答案都是105°.需要指出的是，该题是教辅资料上的一道习题，你想偏方向固然有对角的概念和三角形的概念混淆的原因，另外就题目本身来说也有表述不当的问题，比如题目应该重新表述如下：

过钝角的顶点作其中一边的垂线，若该垂线将钝角分成两个角之比1∶6，求这个钝角的度数.

这样就是比较规范严谨了，不容易产生你联想到的三角形的边.“向”某边作垂线，常常是三角形中过一个顶点向对边作垂线的说法.

例2 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P，分析△PAB面积的最大值.

相关说明：限于篇幅我们没有展示该题的前面两问（分别是探究线段CE1与BD1的数量和位置关系），该提问学生对前面两问也很熟悉，不存在问题.

图4

图5

学生主要困惑：学生探究的进展是先画图4，分析出CE1，BD1的数量关系是相等，位置上一定是相互垂直.而且也想清了问题的结构是图5这样，点D1，E1都在同一个圆A上，当PG最大时，相应的△PAB面积最大.但不能理解参考答案上所指出的当PB与圆A相切时△PAB面积取最大值.

答疑记录：首先肯定学生的提问很有质量，一是不满足于参考答案的流水解答，对其中关键一步的理由深入追求，是数学理性的体现，反映了很好的数学素养.接下来，仍然以系列问题来引导学生理解.

问题1：你是如何证出BP⊥CE1？（学生说出由全等性质，再结合“8字形”可证）

问题2：在Rt△BCP中，BP的长度何时取得最大值？（学生经过分析发现，当∠BCP最大时，根据正弦函数结合BC是定长可确认BP取得最大值）

问题3：∠BCP最大与哪个角有关？（与∠ACP）而该角对应的角是（∠ABP）.

问题4：当BP与圆A相切时，∠ABP取得最大值吗？（是的）

问题5：把目光转向图5中的△BPG，该三角形中PB最大时，PG是否相应的最大？（是的，懂了，此时△PAB的面积就最大了）

教师评析：这样也就解释了当PB与圆A相切时，点P到AB的距离最大，也即△PAB的面积最大.

二、关于答疑解惑的三点思考

近年来，章建跃博士提出的“三个理解”得到了广大一线教师的积极响应，在很多课例设计中都体现了“三个理解”理念.我们认为，在为学生答疑解惑时，也需要基于“三个理解”开展答疑.比如“理解数学”对应着理解学生提到的数学问题；“理解学生”对应着精准诊评学情；“理解教学”对应着如何开展答疑，怎样设计出铺垫式问题来达到较好的答疑效果.以下就围绕相关话题给出三点思考.

1.教师要精准诊评学生的疑惑所在

对不同层次学生出现的疑惑深度往往也不一样，这是教师在答疑解惑之前需要注意的.一般来说优秀学生在作业中出现的疑惑或错误往往比较隐蔽，常常自己不能顺利纠错和究错，教师不但要深刻理解习题的题设与解题思路，还要辨析这道习题的易错点、易混点等，再结合学生已有进展或解答进行研判，精准诊评出学生的问题所在，才是后续答疑解惑的前提.像上文中的题1一样，由于我们看出来了学生在理解题意上就出现了偏差，想当然地把角误作三角形，把垂线的位置画错，对于这类高位错误，是全局性的错误，起点出错、方向出错，就需要引导学生从读题开始，自主查错、纠错与究错.

2.恰当设计问题促进学生自主厘清思路

在想清辨明学生的错误、漏洞或可能的疑难点、易错点之后，教师可预设系列问题开展答疑解惑，而不是直接告知学生解答.在对像上面两道例题的答疑之前，我们先预设了一些铺垫式问题，这些问题都是针对学生的疑惑点、易错点、易混点，并由浅及深促进学生想通思路，以达到润物细无声的答疑效果.比如在例2的答疑进程中，学生的主要难点并不是全等三角形的证明，也不是切线的位置，而是为什么想到在BP与圆A相切时出现点P到BA的距离最大.而要想说清这个难点，教师首先要想清理由，这就需要从“外围”入手，利用Rt△BCP来想清PB在什么位置时获得最大值，由此出发再把目光聚焦到△BPG上，就容易想清问题了，于是可设计一系列的铺垫式问题，让学生在这些问题的引导之下想清△BPG的面积最大值.

3.在答疑解惑中引导学生收获经验

为达到答疑解惑的更高追求，让学生问一题、会一类、通一片，我们可以开展同类链接或者变式再练，帮助学生对疑惑问题有更深的理解.此外，还可以通过答疑解惑向学生传递解题经验，比如例1的系列问题，不但让学生修正了错漏，而且向学生传递了这类问题在求解时要善于“回到定义”，学生的“走偏方向”根本上是由于对角的边、三角形的边理解不深，产生了“潜在假设”和想当然.而例2的答疑，则可让学生善于转化，当待分析的最值问题难以找到模型或方法处理时，要善于将其转化到另外的直角三角形中进行思考，逐个突破，转换聚焦的目标三角形，使之获得解决.

三、写在后面

如文［1］作者所说，答疑解惑能力也是教师的专业基本功，不仅需要相应的解题能力，更重要的是需要“理解学生”的专业能力.这里的理解学生也包括多个层面，比如学生的数学能力、学生的思维特点、学生解该题时的思路和出发点，等等，教师需要像专家医生一样“望、闻、问、切”然后作出专业研判，再跟进铺垫式问题，为学生带来一次高质量、富有启发性的答疑解惑.知易行难，我们所举的答疑题例还偏少，个性化成份也居多，期待更多同行收集、分享精彩的答疑案例，促进我们在这个专业能力上的共同精进.