高效课堂 自“圆”其说——以直角坐标平面内的图形运动为例

☉浙江省义乌市江东中学 朱国桅

学校为了更好地适应中考，积极推进中考备考示范课教研活动，要求在最后的冲刺阶段创设一个符合九年级课堂教学实际的“标准”课型.在备课组同仁的积极举荐下笔者挑起了示范课的重任.

一、课前做法聚焦

本节示范课笔者选择了直角坐标平面内的图形运动，这是一种数学的思想，是近几年中的一个热点.这类问题诠释了课标的真实意义，“充分激发学生的主动意识和进取精神，提倡自主合作、探索的学习方式”.但在初中学生接触这类问题的时候，很多学生都不善于甚至根本不懂得如何去作运动后的图形，尤其是当涉及到动点的综合性题目时更是无从下手，其解题过程也是一塌糊涂.在集体备课时，教师都提出了自己的看法，归纳出这样的两个大致原因：第一，学生要认知运动的观念，必须熟练掌握数形结合、分类讨论等数学思想，中学生在这方面的应用能力还是有所缺失的；第二，在平时课堂教学过程中教师缺乏一针见血的学法指导与训练，尤其是关于坐标平面内的图形运动循序渐进的训练.基于此，备课组一致认为可以借助这次课堂示范课教研活动，作一个大胆的尝试.

浏览近年来各省市的中考数学试卷，坐标平面内的图形运动的中考试题内容很宽泛，其中与平面直角坐标系相关的试题基本都是中考的压轴题，相当多的是将几何问题、函数问题、图形运动问题融为一体，把有关图形置于直角坐标平面中，真正体现了“数形结合”的数学思想.在这次示范课中笔者选用了两道与“圆”有关的中考试题作为案例，旨在让学生在再次重温坐标平面内的图形运动内容后能够举一反三，从容面对.

二、课堂实录

1.首先引导学生复习坐标平面内的图形运动的相关知识

教师：直角坐标系的“直角”意味着什么？

学生：两个数轴相互垂直.

教师：用直角坐标系是如何表达数学方程的？

学生：确定若干个满足方程的点，将点用光滑的曲线连起来.（教师强调：点是基础）

教师：如何用直角坐标系表达圆的概念？

学生：描述定义.（强调：动点到定点的距离为定值）

图1

2.例题示范

通过电子白板展示：

例题 如图1，在直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D （， 0），连接AB.

（1）求证：∠ABO1=∠ABO；

教师：在几何中有哪些情况可以证明两个角相等？

生甲：①两线相交的对顶角相等；②同一角或等角的余角相等；或同一角或等角的补角相等；③全等三角形或是相似三角形的对应角相等；④在平行线被第三条线相交时，同位角或内错角是相等的……

教师：在圆中有哪些情况可以说明两个角相等？

生甲：①同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆心角和圆周角分别相等；②圆内接四边形的外角与它的内对角相等；③一个圆的弦切角与它所夹弧对的圆周角相等……

教师：同学们分析本题（1）应该用什么方法？（同桌学生进行讨论交流）

生甲：（举手）先连接AO1，可以推断∠ABO1=∠O1AB、∠ABO=∠O1AB，本题即可以证明.

教师：请同学甲上台展示证明过程并加以说明.

生甲：（上台用投影仪展示，并解释）

（1）在图1连接AO1、⊙O1与x轴相切于点A，根据切线和过切点A的性质推断O1A⊥x轴，进而O1A∥OB；∠O1AB=∠ABO；又有O1A=O1B，就能发现∠O1AB=∠ABO1，∠ABO1=∠ABO（展示图如图2）.

图2

图3

教师：说的很好.（学生鼓掌）

教师：有没有学生对（2）发表看法？

生乙：（举手，教师示意起来回答问题）我是通过△ABF和△EBC相似，用对应边成比例化成积的方法，将BE·BF转化为AB·BC；只有求得AB、BC的长代入式子就能得出结果.

教师：同学乙给出的方法针对性强，但在推理过程中的步骤一定要合理，不能有“断层”现象.给同学5分钟，各组讨论并将答案写在答题纸上.（5分钟后有学生举手）

生丙：（上台展示答案）

（2）连接CE（展示图3）.

再由OB∥O1A，可以得到

设BD=2x，就有O1D=5x，

又因为OA切⊙O1于A，OC是⊙O1的割线，即有OA2=OB·OC；代入数值得出OC=4、BC=OC-OB=3.

生丁：（上台展示评价）

步骤比较完整，但在给出“再代入在直角△O1AD中解得x=”时，我认为不够合理，应将勾股定理式子写出来，就是说应该补充成“在直角△O1AD中，O1A2+AD2=O1D2，即，解得x=”（.同学鼓掌）

教师：同学丁提出的意见有道理，推理要有理有据，不能含糊其辞，数学证明要严谨.

3.变式训练

通过电子白板展示：

练习：如图4，在平面直角坐标系内，⊙O1与y轴相切于C点，与x轴有两个交点，分别是A（2，0）、B（8，0），且圆心O1在第四象限.

（1） 过B作BO1直线交⊙O1于另一点D，求点D的坐标；

（2）若线段BD上有一点M，使得AB2=BM·BD，能否推出AM⊥BD？请给出你的结论，并说明理由.

学生自主练习，教师在教师巡视并指导.

学生：展示答案并评价（略）.

教师：（总结本节内容）.

图4

三、教后反思提升

本节内容是教学的难点，也是学生学习的难点，同时也是中考的热点.在授课之后，备课组讨论后给出对本节课的评价：

（1）在平面直角坐标系内两坐标轴互相垂直的关系和点的坐标与计算有关线段的长度之间的相互转化，这是数形转换的基础，在课堂上有所体现；

（2）圆的图像与坐标轴的交点是圆的相应的方程去x=0或y=0时的另一未知数的根，这点没能在课堂上很好的强调，只是蜻蜓点水，需要改进；

（3）在图形中某些元素的运动，如动点在图形中的沿线运动等等所带来的变化，可以通过大胆假设进行判断.这点在课堂上有所体现、做得不错.

总之，本节课是笔者为初中毕业生的复习备考而精心准备的一节示范课，有一些成功之处，也暴露出一些问题.我感觉到本次课堂教学是一种历练，也是一种对专业能力的提升.我相信，只有在备课组的集体智慧的催生下，数学备考才会在中考中硕果累累.