基于单元设计，重组学材资源*——以《锐角三角函数》教学为例

☉重 庆 复 旦 中 学 丁庆彬

☉重庆市第二十九中学校 郑 莎

以课时为单位的数学教学设计对于合理把握每节课的数学教学活动进程、优化数学教学活动具有重要意义.但其自身也存在不足之处：易使学生的知识割裂，不利于形成一个完整的知识链条和结构体系，而且过多地关注知识与技能，忽略了学科素养的培养.锐角三角函数是人教版教科书九年级下册第二十八章第一节内容，该内容既是对直角三角形边角关系的深入研究，又是对函数关系的进一步深化，对以后高中阶段学习三角函数起着铺垫性作用.本设计充分遵循学生的认知水平，通过对学材资源的重组建构单元教学体系，真正落实以学生学习为中心的教学观，多维度提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力，从而实现发展学生学科素养的教学目标.

一、课堂导入，知识与方法兼顾

师生一起回忆已学过的有一个锐角为30°或45°的特殊直角三角形，引导学生探究并计算出这些特殊角所对直角边与斜边的比值.在此基础上，保持角度不变，将三角形放大，如图1，再让学生思考其比值情况.

图1

在教师的引导下，学生很容易得出结论：在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.教师再提出问题：当∠A取其他的一个固定度数时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？教师先借助几何画板进行动态演示，用几何画板画出Rt△ABC，保持∠A的大小不变，拖动三角形至任意大小，其对边与斜边的比值a）大小不变，如图2.

图2

图3

演示后，学生初步感知当一个直角三角形的锐角固定，其对边与邻边的比值是不变的事实.在观察完图形后，教师引导学生还要通过已学过知识进行严谨的数学证明，并提出如下问题：

问题1：如图3，任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么与′有什么关系.你能解释一下吗？

引导学生分组探究，并利用相似来证明结论的正确性.

设计意图：改变千篇一律的情景引入方式，以复习切入，直截了当.通过对特殊锐角的对边与斜边比值不变性推广到一般锐角，分别借助几何画板这一多媒体资源进行动态演示和利用相似进行严谨的证明，不仅体现了从特殊到一般的思想方法，同时也将直观的图形观察与严谨的逻辑证明巧妙的结合起来.对学材资源进行挖掘和重组，让课堂导入层层递进，严谨而又自然.

二、新知探究，知识与方法融合

1.正弦

在探究当一个锐角固定时其对边与斜边的比值不变性的基础上给出正弦的定义，教师在黑板上结合图形（如图4）写出如下内容，引导学生在教材中勾画出相应内容.

图4

就概念的理解，教师做以下说明：

（1）sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”，当角是用三个字母表示时，“∠”不能省去；

（2）sinA表示一个比值，没有单位.

结合课前导入给出如下两个小问题，让学生自主完成，以此巩固概念.

（1）当∠A=30°时，则sinA=sin30°=______；

（2）当∠A=45°时，则sinA=sin45°=______.

2.余弦

在引入锐角∠A的余弦时，可以改变通过继续探究比值的方式，引导学生在原有图形的基础上进一步表示出sinB==.根据已学过的正弦知识，显然这个比值也是不变的.再回到图形上，引导学生观察边AC、边AB和∠A的位置关系，易知边AC是∠A的邻边，边AB仍然是斜边，这样就可以得到∠A的邻边与斜边的比值也是不变，我们把这个比值叫作∠A的余弦，可表示为：cosA=

此时，顺势引导学生观察sinB与cosA的关系，并尝试给出如下一般的结论：

在Rt△ABC中，若∠A+∠B=90°，则sinB=cosA或sinA=cosB.

3.正切

回到图形上，以∠A为参照角，引导学生思考除了对边、邻边和斜边之间的比值外，还可能会遇到哪些边的比？学生会想到对边与邻边、邻边与对边、斜边与对边、邻边与斜边等四种情况.教师可以做如下处理：

师：请同学们想一想∠A的斜边与对边的比以及斜边与邻边的比，数值上与∠A的正弦和余弦分别有什么关系？

生：互为倒数的关系.

师：很好，由于在数值上具有简单的倒数关系，因此在初中阶段我们就不做特殊的学习，到了高中后，这两种比值也会有新的定义.我们再来探究一下两条直角边的比值情况.

这样就自然的引出了正切的定义：tanA=∠A的对边∠A的邻边=

设计意图：正弦的概念是师生经历一系列探究之后给出的，采用了常见的讲授方式.余弦和正切的给出改变了传统的方式，紧紧抓住“比值不变性”层层推进，自然生成.通过∠B的正弦得出∠A的余弦，不仅教会学生通过已知探究未知的方法，同时也得到互余两角正余弦的特殊关系，为高中阶段的学习铺垫了思想方法.同时，本环节还充分考虑学生的认知和思维习惯，余弦和正切的引入并没有沿用正弦的引入方式，而是在学生列举出所有可能出现的比值情况下教师加以引导自然生成，同时对学生可能产生的疑惑（为什么只研究三种比值）给予很好的说明.这种“大学材”观不仅培养了学生发散性的思维方式，同时也渗透了整体教学的思想.

三、概念延伸，知识与文化并举

本节课的课题是锐角三角函数，而很多教师往往局限于正弦、余弦和正切的概念讲授及简单运用.很少会涉及到函数层面，即便有也是一带而过.事实上，从知识的功能来看，本节课的一项重要任务就是通过对三角函数知识的学习来达到对函数的再延伸、再深入，而在教科书上也有一处旁白（如图5）提示，值得我们去关注和思考.

1.用列表的方式引入三角函数

以sinA为例，让学生回忆几个特殊角的正弦值.

∠A 30° 45° 60°sinA

师：请同学们想一想如果不是一个特殊角，我们又如何求出其正弦值呢？

生1：根据角度画出直角三角形，测量该角对边和斜边后再计算比值.

生2：借助计算器计算.

师：测量法求值是一种很烦琐的方法，而且还有误差.使用计算器计算比较精准而且很快.无论采用那种方式，只要给出一个锐角就一定会有唯一的正弦值与之对应.这种对应关系和之前学习的函数是一样的.因此，我们通常把sinA叫作A的函数，即为正弦函数.同理，也把cosA和tanA分别叫作A的余弦函数和正切函数.

2.从图像的角度认识三角函数

图5

教师利用几何画板画出y=sinA（0≤∠A≤3π）的图像，引导学生观察和认识正弦函数图像，如图6.并补充说明：我们也可以用同样的方法画出余弦函数和正切函数的图像，也可以像研究其他函数一样去研究三角函数的性质，进入高中后我们会进一步学习.

图6

3.从历史发展的角度了解三角函数

用幻灯片呈现出教材P70“阅读与思考”材料——一张古老的“三角函数”，以此增进学生对三角函数的发展历史和应用领域的了解，增长见识，提升文化素养.

设计意图：在教材旁白的提示下，以特殊角的正弦值为切入，通过简单的列表形式让学生感受到角度的变化引起正弦值变化的事实.类比已学过的函数知识，让学生很容易接受三角函数这一新概念.借助几何画板现场画出正弦函数图像，让学生从形的角度感知三角函数.这样多维度的探究和学习，既体现数学知识的联系性，又体现数学学习的严谨性.本环节还链接了课后资源“阅读与思考”，其在教学过程中起着拓展视野和提升文化素养的作用.

四、习题设置，知识与能力共生

课堂上，习题的设置既为了巩固知识，更为提升学生的能力.可是，我们的课堂上往往只关注了知识的运用，却忽略了能力的培养.新课标指出：培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力（以下简称“四能”）是数学课堂的重要使命.为此，本环节做了大胆的尝试，不给学生预设固有的题目，只给出题目的基本条件和图形（如图7），让学生以小组为单位利用刚学过的知识各自提出2-3个问题，每个小组代表向同学们展示本组所提出的问题，发动其他小组的同学去思考并尝试解决.

例 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，BC=5，AC=12.

各小组经过探究后，依次展示自己的问题，并给出解题思路.许多问题大大超出了预设，生成了许多宝贵的资源.这些问题的生成成为课堂上重要的学材资源，极大地提升了学生学习的积极性，培养了合作学习的能力.

展示环节结束后，教师应给予点评和归纳，引导学生如何在直角三角形中利用勾股定理和三角函数建立边边关系、边角关系.并指出在五个元素（两个锐角和三条边）中，如果知道其中两个元素（至少有一条边），可以求出其他元素.

设计意图：数学课堂不仅只关注知识本身，还要通过知识的学习和运用提升学生的“四能”.仅有预设的问题就无法实现”四能”的全面协调发展.本环节，学生在现有条件的基础上提出许多宝贵的问题，增加了许多宝贵的课堂资源，不仅实现了对新知识的巩固和运用，同时也培养了学生的主观能动性和学科素养.

图7