经历数学抽象过程 形成数学核心素养

朱春雷

【摘要】数学抽象，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。基于数学核心素养的教学活动基本路径是把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出恰当的数学问题，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，形成和提升数学核心素养。抽象的方法一般有对应方法和内涵方法。数学核心素养是学生习得的综合素养，也是学生数学能力的体现，因此我们在关注数学抽象核心素养的同时，也要密切关注其他数学核心素养的培养，达到整体考虑、重点突出，全面发展数学核心素养的目标。

【关键词】数学抽象 核心素养 基本路径 过程方法

会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界是数学教育的终极目标。此终极目标与人的行为有关，是数学学科的本质要求。数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学抽象反映了数学的一般性特征，从而形成数学眼光；逻辑推理反映了数学的严谨性特征，从而形成数学思维；数学模型反映了数学的广泛性特征，从而形成数学语言。本文以数学抽象为例，探讨在义务教育阶段的数学学习活动中，如何让学生初步经历数学抽象过程，形成数学核心素养。

一、数学抽象核心素养的概述

数学学科核心素养的理解要从概念内涵、学科价值、学生表现等方面来进行。从概念内涵来理解数学抽象，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。从学科价值角度来理解数学抽象，是指数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿于数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。通过数学课程的学习，学生能在情境中初步抽象出数学概念、方法，运用数学抽象的思维方式思考和解决问题，把握事物的本质；从学生表现方面来理解数学抽象，是指积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯。

数学抽象核心素养不仅是一种关键能力，更是一种思维品质，是人的行為表现。数学抽象具体功效是获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。义务教育阶段的数学抽象核心素养主要是指数感、符号意识、几何直观、空间想象等的发展培养，当然还有应用意识、创新意识等超越数学的核心素养的发展。

二、遵循智力发展的规律探讨数学抽象核心素养的教学

布鲁纳认为，教学说到底是一种帮助或促进人的成长的努力。人类的智力发展始终会沿着按动作性表象、映象性表象、象征性表象等三种表象系统的顺序前进的。动作性表象是借助于动作；映象性表象是依靠视觉或其他感觉组织和各种概括化映象的作用；象征性表象是通过文字或语言形成的表象，其特点是具有符号的性质。成长的过程发端于我们自己注意了自己的活动痕迹，并且在成人或教师的帮助下对我们已经做过的事情和看到的东西用一种新的形式重新编码，而后利用重新编码产生的新的结果来继续组织新的结构模式。布鲁纳三种表象系统顺序说，是从学生认知发展角度表明数学抽象素养形成的过程，这为我们探讨基于培养数学抽象核心素养的教学提供了理论依据。教育的过程的核心在于为受教育者提供帮助和对话的机会，以便他把具体经验转译为更加有力的标志系统和更有次序的体系。

那么如何进行基于数学抽象核心素养的教学呢？基于数学抽象核心素养的教学就是要求在教学活动中关注数学抽象。数学教学的目的是为了引发学生思考，数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考。那么如何启发学生思考？学生独立思考的落脚点又是什么呢？通过对这些问题的分析，我们认识到数学核心素养不是知识，不能靠讲解让学生理解，而是要创设情境、通过教学内容让学生感悟。数学核心素养是借助学生参与其中的教学活动，通过思考，获取知识和技能，逐步形成素养。也就是说核心素养是通过学生的独立思考和相互交流得到的，是感悟的结果，是经验的积累。

三、数学抽象核心素养教学的基本路径

设计基于数学核心素养的教学活动基本路径是把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出恰当的数学问题，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，形成和提升数学核心素养。通过学生参与其中的活动引发思考，就能发展数学思维。启发思考必须创设合适的情境和提出合适的问题，创设情境和提出问题的基础是把握数学的本质。

1.把握数学内容的本质，理解抽象的基础，掌握抽象的方法

现在以“数的认识”为例来分析说明如何实现基于数学核心素养的教学。义务教育阶段“数与代数”领域的课程知识技能与数学思考方面的总目标是：“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。”依据上述目标，教材从学生不同年龄特点和学习序列考虑，以知识点的方式分散安排了相关内容。这就造成了传统上的教师以知识点来设计教学，这不利于核心素养的形成。基于数学核心素养的教学就必须要改变课程设置的方式和教师教学设计的方式，教学设计要由知识点拓展到知识“团”，从而在整体上把握知识的主线。数的认识过去注重知识点，教材中依次安排了10以内数的认识、20以内数的加法减法、100以内数的认识及加法减法、万以内的数的认识、万的认识、大数的认识等。从整体上把握知识的主线要求教师首先要弄清楚下面几个问题：数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？如何认识数的加法减法？这个主线认识清楚了，再抓住几个重要的逻辑性强的知识点来设计教学，教学实施就顺利了。这样依据知识的本质，抓住知识的主线，就可以设计出合适的教学情境，提出恰当的数学问题，让学生在情境中掌握知识技能，同时发展核心素养。

遵循数学内容的本质，抽象的过程和方法怎么把握呢？我们还以“数的认识”为例来分析理解。数是数学研究的对象，是通过数学抽象得到的。数学抽象的功能是得到数学的研究对象，并且把这些对象予以表达，这样就把教学活动与学科核心素养有机结合起来。通过数学抽象得到了数的概念以及概念之间的关系，数学内容的本质就是对数量与数量关系、图形与图形关系的抽象。数是对数量的抽象，然后用符号予以表达，本质上数是一种符号的表达。数学研究对象本身的存在性并不重要，重要的是它们之间的关系。数的关系的本质来源于数量，我们从数量和数量关系中一并抽象出数和数之间关系，数量关系的本质是多与少，抽象得到的数的本质是大与小。通过抽象使得数产生了，并能用符号表达，同时它的关系多和少也产生了。

抽象的方法一般有对应方法和内涵方法。低年级教学一般用对应方法抽象出数学研究的对象，如“3和4的认识”，教材上有3个小朋友和4棵树，教师要引导学生学会抽象出3个小朋友对应着“□□□”，4棵树对应着“□□□□”，让学生慢慢感悟，具体的事物转换成了映象性表象和象征性表象。这里要注意保持对应物“□”不变，对应得到几个“□”，3个小朋友对应3个“□”，4棵树对应4个“□”。3和4是舍去原来数量的后缀名词，本质上去掉物理属性，同时舍去事物的背景，因此通过抽象得到了数学的一般性。高年级除了对应的方法外，通常要用内涵方法抽象出对象的意义和内涵。如认识自然数是把自然数看作是一个个多起来的，2从1出发，2比1多1，2就是1加1；3比2多1，3就是2加1；4比3多1，就是3加1……这里一个个多起来的数叫作后继数，可以用后继的方法得到自然数。教科书上认识10000时，说10个一千是10000。我们在教学时，还必须要把10000看作比9999多1，而不是10个一千，因为这时学生还没有学10×1000。10000本质上就是比9999多1的那个数。

2.创设合适的教学情境，提出恰当的数学问题，经历抽象的过程

数学学习的核心是思维，思维源于问题，问题扎根于情境。因此在数学学习活动中教师需要做的就是依据数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出恰当的数学问题，引发学生思考，经历抽象的过程，发展学生思维。依据背景和内容，情境一般可以分为生活情境，数学情境、科学情境等三种情境。这三种情境对应着三个层次，熟悉的、关联的和综合的情境。因此我们可以提出相应的三类问题：简单的、较为复杂的、复杂的问题。我们也可以把学生的认知和思维大致分为三个水平背景：第一水平的背景是熟悉的情境、简单的问题；第二水平的背景是关联的情境、较为复杂的问题；第三水平的背景是综合的情境、复杂的问题。现在以“线段的初步认识”教学为例，体会基于数学内容本质，创设合适的情境，在数学思考中逐步培养数学抽象核心素养。线段是比较抽象的几何概念，而低年级学生的年龄小，抽象思维水平还比较低，这就构成了学生思维水平与抽象数学概念之间的矛盾，也是学生认识和理解线段概念的困难所在。但教育的意义不在于跟随学生思维水平的发展，而在于指导和促进学生思维水平的发展。即如维果茨基的最近发展区理论所言：“教学要走在发展的前面。”为此，教学中在引导学生认识线段时，特别要设计好合适的情境，注重用直观的方式来说明线段的特征，从生活情境到数学情境，循序渐进地促使学生获得丰富而正确的表象，初步形成线段的概念。过程如下：

第一层次，借助实物，比较感知。让每个学生都准备一根较细棉线，先把它随意地放在桌上，再用手捏住它的两端，并把它拉直，引导学生仔细观察和比较这根棉线拉直前后的样子，说说各有什么特点，突出拉直后棉线就直。在此基础上，指出：“把线拉直，两手之间的一段可以看成线段。”教师把两手捏得远一点，问哪一段可以看成线段，再捏远一点呢。让学生体会，随着教师的两手捏得越来越远，线段就越来越长，两手捏得越来越近，线段就越来越短。通过这样的操作活动，学生会初步感受到线段的本质特征：线段是直的，线段是有端点的，线段的长度是有限的。

第二层次，抽象图形，巩固特征。根据上面教学情境顺势提出：“那在数学上用什么样的图形来表示线段呢？”教师把线拉直贴在黑板上，两端用磁铁固定。教师继续引导学生：“这直直的一段，我们用一条直直的线来表示。”教师用粉笔依棉线长度画出直直的部分。刚才两手捏的地方，就是线段的两端，我们把它们叫端点，分别用两个小圆点或小短竖来表示，同时告诉学生这样的图形就是线段。并让学生说出线段有几个端点。接着问：“那能不能竖着画一条线段？”师竖着画一条线段。“斜着可以画吗？”师生看着这三条线段总结得出线段的特征：线段是直的，有两个端点，还有一定的长度。这样利用直观提示本质的同时，学生就初步建立了线段的表象。

第三层次，回到实物，操作体会。引导学生指一指直尺、课本等物体的边，告诉学生：“直尺、课本面上的每条边都可以看成线段。”再让学生说一说，还有哪些物体的边也可以看成线段。交流后，要求学生把一张纸折一折，观察得到的折痕，说说这样的折痕是否也可以看成一条线段；再要求学生分别折出一条比它长的和比它短的折痕，使学生在操作中体会到线段是有长有短的，从而进一步完善对线段的认识。

第四层次，学画线段，体会表达。本层次主要是教学生用直尺画线段，教师可以先示范，并说明画线段的基本方法和步骤，再让学生模仿着画一画，画完要交流画线段的方法和注意点。在巩固练习中，针对用直尺把下面两点连成一条线段的练习，拓展认识在两点间只能画一条线段；针对给出三点和给出四点（均不在同一直线上）要求学生在每两点间画一条线段，要让学生充分理解“每两点之间画一条线段”的意思，并在实际练习中无遗漏地画出所有线段。在此基础上，可以初步学会给每一条线段命名，体会用数学语言进行表达。

四、基于数学学科本质，整体考虑核心素养

数学核心素养是学生习得的综合素养，也是学生数学能力的体现，因此我们在关注数学抽象核心素养的同时，也要密切关注其他数学核心素养的培养，达到整体考虑、重点突出，以全面发展数学核心素养的目标。如在培养学生数感时，学生通过了解数字和数字运算，就可以针对数字模式和数字联系的逻辑思维进行数学推理。如果基于计算的观察活动能引导他们预测结果并争论所使用的方法，那么这种预测和争论正是激发思维力量的动力。如当我们对奇数相加時，会发现其结果是某一个数的平方：

1+3=2×2

1+3+5=3×3

1+3+5+7=4×4

1+3+5+7+9=5×5

分析这一数字模式，教师可以先让学生在不需要计算的情况下，预测前10个奇数的和，或者前100个奇数的和，然后向学生们提问为什么会存在这一数字关系等问题。这类问题会引导学生进入数字的魔幻世界，在那里他们会不断地发现富于逻辑性的解释，这难道不是提升学生逻辑思维能力所必需的吗？这样的情境下，学生还会不断地探索到激动人心的数字事实，这为他们超越数学的纯功利性应用目标提供可能，也正是创新意识等超越数学的核心素养的发展。