指数函数定义中“规定”的成因探究

上海市嘉定区第二中学 (201800) 牟忠智 刘国平

一、教学片断

指数函数是高中阶段继幂函数后研究的第二个具体函数.指数函数概念教学常常被用来开设展示课，观摩教学中发现，教师对指数函数定义中底a的规定原因的解释差强人意.

案例1:“指数函数概念”教学片断.

引入：

问题1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗？

学生:y与x之间的关系式,可以表示为y=2x.

问题2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.

学生:y与x之间的关系式,可以表示为y=0.84x.

概念形成：

指数函数的定义：一般地，函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

对规定“a>0,a≠1”的讨论：

师：指数函数定义中，为什么规定a>0,a≠1？

学生分组讨论，开始时比较茫然.教师提示：如果不这样规定会出现什么情况？老师将问题分解为：

(1)若a<0时会有什么问题？

(2)若a=0会有什么问题？

(3)若a=1又会怎么样？

学生似有所悟，各组大都得出以下结论：

(2)若a=0时，对于x≤0，ax无意义，对于a>0,函数值都是0，没有研究的必要.

(3)若a=1时，1x无论x取何值,它总是1,太简单，没有研究的必要.

师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0,a≠1.

……

二、案例分析

案例1中，教师对指数函数定义中“a>0,a≠1”的规定的解释具有普遍性，绝大多数老师在授课中都是这样解释的.

高级中学课本数学高一年级第一学期(试用本)[1]教材引出指数函数定义后，在相关内容的旁白处，以问题的形式提出：为什么规定a>0,a≠1？

教学参考书上给出的理由和例题1中教师给出的理由相同.

这样的解释科学吗？我们可以通过案例2进行说明.

案例2 函数y=(-2)x的研究.

考虑特殊情形，an=(-2)n,n∈N*.

这是一个以-2为首项，-2为公比的等比数列，也可以看成是以-2为底，定义域为N*的指数型函数.

说明如果定义域为N*，就不需要规定a>0,a≠1.

更一般的，我们研究关系y=(-2)x.

在x的允许值的范围内，对每一个确定的x，y=(-2)x的值唯一确定.因此，它是一个函数.它具有以下性质.

图像：在x的允许值的范围内，适当的选取x,通过描点法，可以画出函数y=(-2)x的图形如下：

图像是不连续曲线.图像恒过点(0,1).

定义域：使y=(-2)x式子有意义的x的取值集合，无法用确定的集合表示.但定义域不是R.

值域：实数集的一个真子集，无法确切表示.

奇偶性：非奇非偶.

单调性：函数不具有单调性.……

由此可见，即使a<0，关系y=ax也是函数，且这个函数的定义域不是R.

换而言之，指数函数定义中底“a>0,a≠1”的规定是因为“必须满足指数函数定义域是R”才产生的.

众所周知，中学阶段涉及到的函数，如一次函数，二次函数，反比例函数，幂函数等等，大多是先有解析式而后有定义域.定义域是由解析式来决定的，一般是指解析式有意义时自变量的范围.

那么，指数函数定义中，为什么要先规定其定义域是R呢？

其实，这是由数学规定必须要遵守的规律决定的.

三、数学规定遵循的原则

1.方便性原则:方便性原则是指定义概念时要考虑到使用和研究的方便，它包括读、写、记忆、计算及推理的方便.

数学上的规定必需有利于数学的研究，有利于数学的创造.记a×a×a×…×a×a(1000个)=a1000，规定后的乘方运算要比原来的乘法式子简单多了；阿拉伯数字及其运算法则在全世界通用，但是罗马数字及其运算规律没有普及，原因也是基于阿拉伯数字及其运算方式的方便性.

2.合理性原则:一个概念的正确定义，除了反映事物的本质属性外，还要具有合理性.

案例3 规定a0=1(a≠0)的原因.

指数概念的发展初期，am(a≠0)表示m个a相乘；随着指数m变化，如m是零、负数、分数、无理数时，am(a≠0)就不能看作是m个a相乘.

考察运算法则：am÷an=am-n(a≠0)，当m,n为正整数且m>n时，结果完全符合初期“am(a≠0)表示m个a相乘”规定的意义.

但是当m=n，或m

运算法则的需要和指数初期规定的矛盾要求将指数的概念加以推广..

怎样拓展指数的概念比较合理？

以a0为例，当m=n时，运算法则am÷an=am-n=a0(a≠0)，

等式左边的值为1，如果要是运算法则成立，就必须有a0=1(a≠0)．

所以规定：a0=1(a≠0).

这样的规定遵守一条原则：原有的指数概念及运算法则必须适合推广后的指数概念及运算法则，这就是合理性原则.

3.简明性原则:简明性就是简洁性，在概念的正确定义、准确完备的前提下，力求简洁，简单.

案例4 反正弦函数的定义

为什么这样规定？

其实这样规定的主要原因是“简单”，可以看成是优选出来的结果.数学运算中常设某量为1而不是设它为8.2753是同样的道理.

除此之外，数学规定还必须满足确定性原则、启发性原则、和谐性原则等原则，其中和谐性原则是指定义之间的和谐性，体现的是数学的和谐美.

四、结论

现在再来研究指数函数定义中“规定”的成因.

案例2说明，当a<0，关系y=ax也是函数.这个函数的定义域不是R.

这个函数的定义域、值域无法确切表示；函数也不具有奇偶性和单调性；函数的图像无法确切画出…….在这样的条件下，函数图像及性质都很复杂，在中学阶段无法研究.

所以，关于指数函数底的规定的理由是为了方便研究.主要是为了遵循“规定”的方便性原则.

综上所述，我们可以这样理解指数函数中规定底a>0且a≠1的理由：

指数函数中规定底a>0且a≠1是为了满足定义域为R的规定，规定定义域为R是为了研究的方便.

教学中如果这样对学生解释，应该是客观的，合理的.如果有同学对这样的规定提出质疑，同时进行更深入的研究，那就是数学的福音了.

数学中还有许多这样的规定或概念，教学过程中有些教师的解释似是而非，如二面角的平面角的定义等.从某种角度来看，对数学规定的来由探究并不是教学的内容，但是只有理解了为什么这样“规定数学”，才能做到我也能“规定数学”，如果我们学生中有部分能够做到有能力“规定数学”，那就是数学教育的最高境界.