“有素养”数学课堂的美学特征

孙朝仁 朱桂凤

摘要：基于三节优秀课例的分析，从美的一般概念出发，数学课堂的素养属性可划分为抽象属性、推理属性以及模型属性，由此反映“有素养”数学课堂的三个美学特征，即溶解美特征、自由美特征以及无限美特征。

关键词：素养课堂；美学特征；数学教学

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）05A-0061-04

近期，《中国教育报》刊发了《寻找核心素养落地的力量》一文，指出“将中国学生发展核心素养的统一要求，转化为学校教育教学过程中具象的内容，就是核心素养的校本表达”。这里，研究者对核心素养范畴的“关键能力”进行了共识性确认，主要包括：注意能力、反应能力、学会思考能力、元认知监控能力、价值体系性格化能力。同时，这些能力与“校本表达”之间还需要添加“人性美”的表达层次属性，方能让抽象的核心素养目标得以真正落地。当然，在学科教学范畴，核心素养目标通常表现为“有素养”教育的无限倾向性特征。一般说来，数学课堂的素养属性可划分为抽象属性、推理属性以及模型属性，涉及数学教育美的一般特征，即溶解美特征、自由美特征以及无限美特征。

本研究以优秀课例为分析承载体，从美的一般概念出发，探讨数学课堂素养教育的美学特征，以此示范“有素养”属性课堂的操作量规，落实显性素养目标，即现代公民应该具备的基本素养。其中，“关键能力”是核心素养的外在表现，是素养属性的可替代概念，包括抽象（注意行为与反应行为）、推理（学会思考行为）、模型（元认知监控行为）及其思想观念（价值体系性格化行为）。

一、溶解美特征

“数学抽象”[1]是高中数学课程标准修订组专家提出的6种核心素养中的一种，属于“文化修养”[2]范畴，是初中段数学概念形成的思维支架，始终支配着概念的形成过程。在有素养教育范畴，数学抽象属性起于概念发生的冲突内需，终于思维素养定向的逻辑变迁。可以说，数学概念得以抽象的过程就是学生接受“刺激-反应”，发现对象本质属性的过程。当然，这一过程既有“天光云影共徘徊”的师生融通行为，也有客观化的概念溶解美特征。

在学科教学范畴，数学抽象是舍去了事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出概念及概念之间的关系，从事物具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学符号和数学术语予以表征。[3]而这些“关系”“结构”“符号”以及“术语”本身就是一种再抽象，这就给概念的“形成”带来思维层面的悱愤困难，如能将抽象行为提高到审美高度，则有溶解美特征的概念产生，进而自然实现“天光云影共徘徊”的数学课堂境界美。其中，师生在有意注意和无意注意的交流形态中，成就了概念的可形成与可使用状态。为此，有素养数学教育课堂需要体现三个层面的溶解美特征：一是先行组织材料要符合美的一般抽象特征；二是认知、情感和动作技能3个领域的目标的设置要呈现层次属性；三是实施认知导向型理念，渗透抽象美的一般行为，践行“因人施教”“因材施教”的美学认知抽象。

我们不妨以“一元一次不等式组”起课模块为例，说明“天光云影共徘徊”的抽象过程美的一般特征。这里的“天光云影”特指师生慢格调的思维溶解，“徘徊”则是概念得以“完形”抽象和再抽象的向美形态。溶解美的思维线索简概如下：首先，让学生通过比较教师与学生的身高这一来源现实的问题，建立不同形式的不等关系，进而获得不等式组的结构成分，并用规范的数学言语描述主概念（一元一次不等式组），进一步举例说明不等式组的形态特征；其次，让学生在画图中，结合“数”“形”思想方法，直观感受不等式组的解集确立的方法体系，进而在具象言语描述（同大取大；同小取小；比大的小，比小的大，取中間；比小的小，比大的大，无解）的背景下，落实符号化表达的一般意义；再次，让学生任意写一个简单的二元一次方程组和一元一次不等式组，比较方程组的解与不等式组的解集之间的差异，支持课堂主体间的合作学研；最后，通过“学以致用”板块，讨论不等式组解集确立的基本使用范式，以此把握一元一次不等式组及其相关概念的“全息”意义。

教育即生活，生活是美的抽象来源，有素养数学教育当是如此。克拉斯沃尔从美的抽象目标出发，将情感领域的目标，从低到高划分为5个属性层次：一是注意，二是反应，三是价值化，四是组织，五是价值与价值体系性格化。具体到有素养数学课堂，注意与反应属于一维抽象目标，价值化与组织属于二维抽象目标，价值与价值体系性格化属于三维抽象目标。如果说，由比较师生身高要素行为抽象出概念的初始形态，是一种先行组织美的话，那么通过直观的数轴确立不等式组解集的过程，是一种思维情感凸显溶解美的具体表现。而“任意写+用概念”行为则是认知导向理念得以有序实施的外在表现，以落实人人学好数学的素养取向目标。其中，先行组织美与注意、反应心理成分显著相关，属于一级抽象目标；“数”与“形”的交替使用与价值倾向、自组织系统正向溶解，属于二级抽象；“经世致用”思想落地与性格化价值体系具有内部关系一致性，属于三级抽象，这些抽象属性的完善过程就是概念溶解美的实现过程，体现了有素养教育的数学课程目标。

二、自由美特征

数学是思维的科学，推理是思维的基本运作状态。数学推理属性起于问题思路的探索，终于数学结论的逻辑运演。其间，“探路”的过程带有规则性自由特征，而“运演”则是一种“众里寻她千百度”的思维情结。事实上，推理一直是认知心理学和中观数学教育研究的话题，林崇德先生在中小学生逻辑思维能力的发展方面做了大量研究，得到一些有价值的结论。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》看来，推理能力应贯穿于整个数学学习过程中，推理是思维的基本方式。推理涵盖“合情”和“演绎”两个维度成分，前者是从事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断出某些结果及其结果关系；后者从事实性命题和确定的规则出发，按照逻辑秩序进行定向证明或计算推理，终于数学结论的发现与使用。

确切地说，人们只有通过美才能走向思维自由，才能激发出“众里寻她千百度”的推理情绪。换言之，推理是现代公民必备的思考方式，知觉冲突需要推理、表象建立需要推理、数学思考更需要推理。独立思考是好奇心和求知欲的就绪状态，而学会思考则支配着自由思维的一切存在形式，契合了“众里寻她千百度”的情意信念。怀特海认为，“教育不是往行李箱里塞满物品的过程”，这一观念的背面，可以确认克服“塞物品”的最好方式就是解放思维、自由思考，让学习者有“众里思维”“千百度寻她”的内部自由，最终实现“学会思考”的思考目标。尽管这样的思维组织方式耗时而又收效慢，但对终身思考习惯的养成是不可替代的。为此，有素养数学课堂势必要关注三个层面的推理行为：一是借助独立思考，驱动问题发现；二是使用自由思考，养成问题意识；三是学会定位思考，形成提出问题能力，落实数学思考向美的一般目标。

我们不妨以“二次根式”概念形成模块为例，说明推理对自由美的支配作用，以及美的思维自由对推理属性的反哺力。具体推理范式如下。首先，让学生通过计算确定长方形宣传画的对角线的长，引进二次根式概念的具体形式，同时，让学生再写出几个类似的式子，并描述二次根式形式的含义以及被开方数的约束性；其次，让学生通过“判别推理”“辨析推理”剔除二次根式概念的非本质属性，确立概念的本质特征，进而通过举例实现类化概念的一般属性；再次，让学生借助乘方运算与开方运算的互逆关系，实现对二次根式本质属性的理性理解，即概念有意义的算理依据；最后，让学生在使用概念的过程中，突出概念之间的逻辑关系特征，进一步理解数与式的划分依据，及其二次根式与算术平方根的异同点，落实把握概念的本体意义。

一般来说，产生数学美的对象和方法，可来自超越自然后的自由心境，也可以来自超越自然后的理性自由，而“自由—心境—理性—自由”是自由推理作用的结果状态。为此，理性主义美学家笛卡尔认为，有了理性才会有美，他指出：“思维显示了人的本质，也显示了人的伟大，哪里有理性的使用，哪里才有人，哪里才有高贵，哪里才有美。”[4]这里，我们把推理作为理性生长的工具，而把高贵作为自由的表现形式，把美作为自由理性的统一形态。进而可以推断，数学推理属性集美与自由于一身，推理属性得以确认的过程就是“众里寻她千百度”的自由思维叠合成美的本质过程。可以确认上述课例中的“发生概念行为”是发现问题的一个样例，“举例类化”及其“概念关系”的建立是自由思考的表现形式，“使用概念”及其关联的过程是学会思考的一个微观案例。如此，把握概念的行为就带有强烈的推理意义（意义建构、约束条件的确立、类比归纳等行为），也有自由美的选择特征（互逆关系的使用等层次属性），由此落实“众里寻”“千百度”的思维自由与美的一般能力。

三、无限美特征

数学模型属性起于美的无限倾向性特征，终于素养数学教育的课程目标。“道生无限”是模型属性的本质外化。在学科审美范畴，一个科学理论成就的大小，事实上就是它的美学价值的大小，科学理论的合理性要在它的审美价值中去寻找，并用它來判断科学方法的合理性。[5]这里的“审美价值”可以看作是美的无限性取向特征，而“方法的合理性”则是模型属性的内在冲突的不断外化性平衡的体现，是“柳暗花明又一村”的积极就绪状态。换句话说，审美视域下的方法体系的价值判断，就是数学建模得以心理确认的过程，经历了“山重水复”的思维监控，确证了“柳暗花明”的模型体系。当然，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》看来，模型属性的微观目标就是要重视学生已有经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。

于是乎，在学科素养教育范畴，模型思想是义务教育阶段课程实施的一个重要目标，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。其本质是用数学语言来解释现实世界，因而具有强烈的现实性；同时，带有一定的变量特点（含有参数），反应一类规律性的事物的应用性特点。正是基于这一属性意义，模型本身就带有无限美的倾向性价值特征，是数学教育核心素养的主要目标成分，各学科需要下大功夫监控培养。尤其是具有工具性特征的数学课堂，更要在元认知监控层面提高兴趣的悱愤状态和审美创新意识，方能实现模型思想的厚积薄发作用，进而提高学生的元认知能力。可以说，没有渗透模型培养意识的数学课堂是不合格的课堂，没有数学建模能力的学生，其学业成绩“好也好得有限，而坏则每况愈下”。为此，素养性数学课堂必须从三个层面进行建模：一是，立美性情境建模，形成微观的模型参照系统；二是，向美性方法建模，形成问题解决产生式系统；三是，审美性思想建模，促进基本思想和基本活动经验的学术形态转化为教育形态的认知结构，进而形成“个”模型审美系统，并进行性格化价值取析。

我们不妨以“锐角三角函数”复习课的思维发生模块为样例，阐释模型属性对素养层级的积极作用，进而提高学生的元认知监控水平，到达“柳暗花明”思维无限美的境界。模型建立的一般线索简括如下。首先，教师让学生任意画一个直角三角形，并写出直角三角形中的边角关系，以此引发复习锐角三角函数概念的积极情绪，进一步联动特殊角的锐角三角函数值的使用系统及其还原系统。其次，教师让学生举例说明对锐角三角函数的使用及其层次性变式。量化统计显示，外显变式的学生约占7成，内显变式的学生占2成左右，综合变式的学生占不到1成。正是基于“不同”的数学现实，教师通过监控调节，在自由思维的支配下，实现了不同人获得不同的数学理解，呈现出概念复习的罗森塔尔效应。最后，教师让学生构建本章概念图，并举例说明自己对主概念的理解，找出课本中可以考查的“基本题”，并进行三度改编，使其与中考中档题水平具有信度一致性，进而实现对概念的全息使用与层次性把握。

史宁中教授指出，数学教育的终极目标就是“三个会”[6]：会看，会用数学的眼光观察现实世界；会想，会用数学的思维思考现实世界；会说，会用数学语言表达现实世界。我们认为，可以把会看当作情境建模的初始目标，把会想当作方法建模的程序性目标，把会说当作思想建模的过程性终结目标。这样，上述样例中的“画+写≥概念意识”的引课行为是情境建模的一个经典例子，反映了“刺激—会看—反应”的初始审美目标；样例中学生的“举例说明+层次变式”的演课监控行为是方法建模的立美途径，反映了“关系直觉监控=美的直觉监控+概念直觉监控+证伪直觉调节”的模型视美目标；样例中的“概念图+找基题+作改编”的课堂行为升值是思想建模的审美表现，反映了元认知监控层面的“创造向美力=分析思维力×透视属性力×价值知识量×性格化审美力”的无限美目标，有道生无限而又天地同根、大美不言的境界成分，终于人学审美素养的层级实现。

通常，有素養数学课堂的基本特征是相对复杂的，不止于“天光云影”的抽象属性、“众里寻她”的推理属性以及“柳暗花明”的模型属性，还有“望尽天涯路”的观念属性及其美的一般观念的添加，限于研究篇幅，本研究暂不通过剖析实例加以详细分析。

参考文献：

[1]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：20-23.

[2]王尚志，胡典顺.齐民友先生对数学教育若干问题的看法——齐民友先生访谈录[J].数学教育学报，2015（2）：4-9.

[3]殷容仪，赵维坤.基于质量监测的初中学生数学抽象发展状况的调查研究[J].数学教育学报，2017（1）：14-15+63.

[4]王钦敏.感受数学美的两个重要途径[J].数学教育学报，2014（2）：53-56.

[5]刘萍，张雄.数学美的哲学思考[J].数学教育学报，1999（2）：38-41.

[6]廖辉辉，史宁中，朱丹红.数学基本思想、核心素养的内涵及教学[J].福建教育（中学版），2016（7-8）：94-96.

责任编辑：石萍

Aesthetic Features of Mathematics Class with Accomplishments

SUN Chao-ren & ZHU Gui-feng

（Suzhou Institute for Education Research， Suzhou 215004， China）

Abstract： Based on analysis of three good example lessons， the accomplishment attributes of mathematics class can be divided into abstract， reasoning and modeling attributes from the general concept of beauty， reflecting three aesthetic features of mathematics class with accomplishments： dissolving beauty， free beauty and limitless beauty.

Key words： class with accomplishment； aesthetic feature； mathematics teaching