初中数学例题教学的反思

江苏省苏州高新区实验初级中学 阚丽波

美国数学家、数学教育家G·波利亚认为：“解题是人类的天性”“数学教师要尽一切可能发展他的学生的解决问题能力，特别是解决新问的能力”。学生对数学知识和数学方法的学习，很多都是从例题讲授中获得的。例题教学是数学课的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带。

教科书中呈现了大量精彩的例题，这些题目虽然基础，但体现了对基础知识和方法的运用，同时为学生呈现了规范的解题模式。但是，随着学习的深入，需要将知识融会贯通，教师就要额外精心编制适当的例题。教学中，笔者对教科书中以外的例题的选择与编制经常进行揣摩与反思，总结出设计与讲授例题时通常需要结合以下原则：

一、目的明确，有的放矢

数学例题的编制与讲授首先需要目的明确，有时为了引入某一个概念，有时为了揭示某一公式或法则的运用，有时是为了推导某一个公式，有时用来强调书写规范和解题格式，有时是为了让学生掌握某种解题技巧，还有时则用来突出某种数学思维的方法。

如在讲授“函数”的概念时，学生普遍感到抽象、难懂。事实上，“函数”的概念描述具有一定的抽象性，咬文嚼字地讲解容易引起学生的反感。学生需要在学习一次函数、反比例函数、二次函数等具体函数的过程中，自发地加强对函数概念内涵与外延的理解。因此，在初次接触“函数”概念时，教师需要提供大量函数关系的实例，比如匀速行驶时路程与时间的关系，并且让学生尝试举例，在具有实际意义的两个变量的变化关系中，理解自变量与因变量的对应关系，让学生感受到生活中的函数关系普遍存在，进而辨认一些曲线的坐标是否满足函数关系以及关于两个变量的表达式是否满足函数关系，实现从具体到抽象的认识上的飞跃。

二、巧设“梯子”，易于接受

例题教学要易于学生接受。要做到这一点，教师要“吃透两头”，即“吃透例题”“吃透学生”。对于难度较大，估计学生一下子接受有困难的例题，要降低难度，搭好台阶，让学生感到在老师的引导下“跳一跳”就能达到，有人主张的“先做后讲”“作业前移”正是为了让老师充分了解学生的学习情况，从而有的放矢地讲解。比如，教师在讲解平面几何题目时，需要讲清楚思维过程，并以思维导图的形式进行展示，对学生的解法，即使方法烦琐，也要舍得花时间帮助学生简化过程，这样的过程有利于学生建构知识体系，增强方法运用技巧。笔者认为，能够解决问题的方法都是可行的，没有必要批判其为“笨方法”。很多时候教师所谓的简便方法，未必易于学生接受，某些学生的方法更接近于班级学生的知识水平。

例题讲解要先让学生讲思路，既可以调动学生学习的主动性，又有可能产生让多数学生易于接受的方法。如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，反比例函数（x＞0，k≠0）的图象与BC交于点D，与AB交于点E。若点D是边BC的中点，若四边形OEBD的面积是2，则k=____。此题有的学生设点的坐标，设而不求可以解决。虽有点烦琐，但多数学生易于接受。但笔者讲授此题时认为，用面积关系解决即可秒杀。怎样让学生接受这种方法呢？我设置了问题：“求证：E是边AB的中点。”等于给了学生“一把梯子”，不妨追问“若CD=3BD，则点E在线段AB的何处？”进行拓展，以此激发了学生的学习兴趣。

三、循循善诱，注重启发

例题教学要遵循启发式原则，摒弃“注入式”“填鸭式”。教师如行云流水般的板书、口若悬河般的讲授，学生或者听得云里雾里、不知所云，要么惊叹老师的巧妙构思，然后感慨“老师怎么想到的？”如果教师尽量少讲，多给予启发并留给学生思维的空间，学生才能成为课堂的主体。

设计问题串是教学中启发学生的常用手段。如在下题的教学中，笔者设计了如下几个问题：如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为____________。

问题1：两个动点的运动都影响着AP+PQ的值，能否先固定一点？P与Q两点，先固定哪一点较好？

问题2：（经讨论，先固定点Q）点A与点Q是定点，点P是定直线上的动点，这是所学的哪种典型问题？

问题3：（问题2得出是“将军饮马”问题）点A关于直线BD的对称点与点Q所连线段何时最短？

问题4：由条件“ED=3BE”可得点P在何处？

问题5：（点P是对角线BD的中点）三角形ABP的形状有何特殊性？

……

在以上问题的引导下，学生思路陆续打开，有的经两三个问题启发后便能自主解答。

四、延伸拓展，触类旁通

所选例题尽量进行拓展延伸，让学生由“会一道题”上升为“会一类题”。少数学生本身的举一反三能力较强，而多数学生需要教师讲完一道例题后再辅以若干变式，才能真正理解例题的方法并融会贯通，否则他们往往会机械地照搬这个固定模式解题，造成思维的呆板和僵化。在例题教学中，当学生获得某种解题的基本方法后，应及时对原题的条件、结论、情境或方法进行延拓变通。变式教学多年来受到数学教育者的青睐，并且形成了比较完善的教学理论。然而实际教学中，很多数学教师热衷于题量，却不愿慢下来将有限的例题多角度进行变式。

笔者在讲解分式方程中“增根”问题时，有的学生很难理解，对相似的条件不知道如何运用，问题根源是没有理清分式方程与所化整式方程根之间的关系。因此，笔者在授课时设置了如下变式题组：解分式方程：

首先通过具体的分式方程的求解，让学生在简单的解方程的过程中体会“增根”的含义，弄清分式方程与所化整式方程根之间的关系，进而通过一组含参数的变式题，逆向理解这种关系，最后再辅以适当练习进行强化，取得了较好的教学效果。

数学知识的掌握不是学习数学的根本任务，教会学生运用数学知识解决问题才是数学教育的归宿。选好例题、讲透例题，将目的性、接受性、启发性、延伸性融为一体，为学生提供学习解题的机会，也是学生学会解题的关键一步。学生在获得对数学理解的同时，思维能力、情感态度与价值观等方面也可以得到进步和发展。