对圆周率概念的一点质疑

侯方宏

前段时间看到小学五年级的一道判断题：除法中除不尽的，商一定是循环小数。在与同事讨论的过程中，出现了两种意见。一种是这个说法错误，主要依据就是：π是无限不循环小数，而它是圆的周长与直径的比值。另一种就是这个说法是正确的，依据是：整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数。既然分数（除法）是有理数，就肯定不会是无限不循环小数，除不尽的话商一定就是循环小数。

细细想来，这两种说法感觉各有各的道理道理。

首先，根据有理数和无理数的概念，有理数和无理数是相对的，也就是说一个数要么是有理数，要么是无理数，绝对不可能既是有理数，同时又是无理数。既然分数属于有理数，而除法都可以用分数表示，那么说明除法的计算结果（不管除尽除不尽）也是属于有理数，而不会是无理数，也就是说除法的计算结果如果除不尽的话就应该是循环小数，而不应该是无限不循环小数。因为除不尽的商，如果有无限不循环小数，就说明有的分数会是无理数了，显然与有理数和无理数的概念相矛盾。这样来说认为这道判断题说法正确是有道理的。

其次，长久以来，我们在关于圆周长的计算当中，都是：周长=直径×π，直径=周长÷π，由此可以推算出：π=周长÷直径。并且圆周率的概念明确说：圆周率是圆的周长和直径的比值，同时圆周率又是一个无限不循环小数。那么这样看来认为这道判断题是错误的说法，也是正确的。

可是同一个问题，出现了两种完全相反的说法，并且各有各的道理，这就值得我们深思了。

针对这两种完全相反的判断以及各自的依据，我进行了很长时间的思考。

在经过长时间的思考后，我发现了一些问题，首先，圆周率是圆的周长和直径的比值这个说法，我们说了很久，在有关圆的计算当中也运用了很久，可是却从来不知道它到底是哪一个具体的比算出来的。为了解决自己心中的疑惑，我在网上查阅了很久。其中，所有利用圆周长和直径的比来计算圆周率的说法里面，最著名、最典型的说法，就是公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率<！--[if gte vml 1]> <！[endif]--><！--[if ！vml]--><！--[endif]-->和约率<！--[if gte vml 1]> <！[endif]--><！--[if ！vml]--><！--[endif]-->。其他的说法也都大致相同，就是算出了小数点后面多少位的结果。但从没有提到哪一个人利用圆周长和直径的比算出了圆周率。也就是说，所有运用圆的周长和直径的比来计算圆周率的人，都只是计算出了小数点后面的几位数，而没有、也不可能计算出真正准确的圆周率。由此引出了我的疑问：既然圆周率是圆的周长和直径的比值，那么圆周率π到底是哪一个比或者说哪一个除法算式计算出来的？

其次，在查阅过程中，我发现所有准确表示π值的表达式，基本都牵扯到了高等数学里面微积分之类的知识。

因为自己学识不高的原因，我不能确定那些计算圆周率的方法还是不是比。如果那些计算方法不能算是比的话，圆周率还能说是圆的周长和直径的比值吗？

最后，我还查阅到了：π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。 1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。既然已经证明了拍不可能表达成两个整数之比，为什么圆周率还要说成是圆的周长和直径的比值？