浅析两大类型的复合方程及其解题策略

江苏

常 莲

(作者单位：江苏省常州市前黄高级中学国际分校)

浅析两大类型的复合方程及其解题策略

江苏

常 莲

以复合方程为载体的问题一直是高考的一大热点.这类复合方程问题有效考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想，同时考查了学生作图、计算与逻辑推理等综合能力，进而能够很好地提升数学核心素养.一般地，设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f(g(x))称为复合函数，其由外函数y=f(u)和内函数u=g(x)复合而成.其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数).

根据复合函数的定义，我们把形如“关于x的方程f(g(x))=m(m为实常数)”称为复合方程，其由外方程f(u)=m和内方程u=g(x)复合而成.下面主要介绍复合方程中的两大类型及解题策略，使学生较好的掌握两大复合方程的类型以及相应的解题策略，教师在教学中可以不断地渗透数形结合、转化与化归等数学思想，从而较好的提高学生的数学核心素养.

一、同种复合方程迭代

“f(f(x))=m”型复合方程，其由外方程f(u)=m和内方程f(x)=u复合而成，内方程和外方程都是采用同一个对应法则，研究这类复合方程的根的情况，通常可以引导学生按照由外而内原则思考，流程如下图：

外方程f(u)=m根的情况

研究函数y=f(u)与函数y=m的图象的交点情况

由m的情况，确定交点坐标中u的取值情况

研究方程f(x)=u根的情况

研究函数y=f(x)与函数y=u的图象的交点情况

【解析】令f(x)=u，

∴原方程可化为f(u)=m恰有5个不同的实数解，

将研究方程f(u)=m根的情况转化为研究函数y=f(u)与函数y=m的图象的交点情况.

综上，0

【解析】令f(x)=u，

∴原方程可化为f(u)=-1有4个不同的实数解.

【评注】因为同种复合方程的内方程和外方程采用同样的对应法则，所以解题时共用的是同一个函数y=f(x) 的图象，此时正确作图与理解图象就显得至关重要，然后充分利用数形结合进行分类讨论，合理地建立分类标准，问题就会迎刃而解.

二、不同种复合方程迭代

“g(f(x))=m”型复合方程，其由外方程g(u)=m和内方程f(x)=u复合而成，内方程和外方程采用不同的对应法则，笔者研究此类复合方程发现，除了采用由外而内原则，多数内方程f(x)=u的根的情况确定，此时可以引导学生按照由内而外原则思考，流程如下图：

1.“af2(x)+bf(x)+c=0”型复合方程，外方程是二次方程

【解析】令f(x)=u∈R，∴2u2+2bu+1=0恰有8个不同的实数解.

综上，实数k的取值范围为(0,+∞).

【评注】因为外方程是二次方程的复合方程，所以教师在讲解此类题时，应该充分运用二次方程根的判别特征，进一步转化为二次函数的零点分布问题.

2.“f(g(x))=m”型复合方程，外方程不是二次方程

【解析】令f(x)=u,u∈(-∞,1]，则g(u)=m，

【变式】已知函数f(x)=sinx,g(x)=3x2-x, 若方程g(f(x))=m在x∈[0,2π]上有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

(作者单位：江苏省常州市前黄高级中学国际分校)