全国高考卷提分策略——坐标系与参数方程难点探析

广东

林绍镓

(作者单位：广东省肇庆市百花中学)

全国高考卷提分策略
——坐标系与参数方程难点探析

广东

林绍镓

一、问题提出

从高考做题分布看，有50%以上的人选择做“坐标系与参数方程”，足见考生对此题的青睐.但从得分上看，超过50%的考生不足5分，70%的考生不足7分，满分率不足7.5%，甚至超过15%的考生不得分.平时教学中教师过分强调用传统方法解决此类型问题，忽视极坐标与参数方程的功能作用，复习中教师多让学生转化为普通坐标系下解决问题，教师教得轻松，学生易理解.但是，近几年来，高考对于“极坐标与参数方程”的要求越来越高，它不再是一道“最简单”的解答题，学生不再触手可得，如今出题者往往对于知识的深刻理解、方法的熟练掌握、题类的辨识鉴别上均有较高的考查要求，常表现为灵活、考能力、重基础、讲方法.故此，一味地强调在普通坐标系下解决问题，想拿到分还是有一定难度的.

二、科学备考策略

科学的备考需要备考者弄清本章节考查的核心问题和核心知识的思想方法，才能达到预期的效果.我们要弄清楚考查问题的本质，明晰命题思路，设计出适合坐标系与参数方程的备考策略.

1.明确全国卷考纲要求与试题布局

(1)极坐标中要求理解极坐标的产生背景、表示原理以及点的表示法，能进行极坐标与直角坐标的互化，会表示、能识别一些简单图形如直线、过极点或圆心在极坐标系下圆的方程，能进行简单的极坐标与直角坐标的互化，能选择恰当的坐标系表示曲线方程，并应用于解题.

(2)参数方程要求了解参数方程、参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.

从全国卷的考纲看，分析近几年的试题特点，考题分为两个层面，第一类属于基础题，参数方程、极坐标方程、普通方程与直角坐标方程之间的互化，为大众所接受的题目，第二类是极坐标与参数方程的综合问题.

2.深挖命题思路，提高解题意识

(1)以考查不同形式的方程互化为基础

对于坐标系与参数方程，近三年都考查了不同形式的方程之间的互化，2016年新课标全国卷Ⅰ第23题第(1)小题是把参数方程转化为极坐标方程，卷Ⅱ由普通方程转化为极坐标方程，卷Ⅲ是由参数方程和极坐标方程转化为普通方程，以2016年全国卷Ⅰ第23题第(1)小题为例：

此题从考纲看，几乎每年的高考都会选择在不同坐标系或不同方程之间做转化，是本章节重点考查内容，贴合全国卷考纲；从知识掌握来看，互化是研究坐标系与参数方程的基础，是灵活选择坐标系的必备条件,还是为第(2)小题的应用准备的.故此，在教学中，教师应针对不同坐标系下的方程互化，进行针对性训练，要求学生熟练掌握，确保万无一失.只有学生学会灵活转化不同坐标系下的方程，才能游刃有余地处理这类问题.

(2)数形结合思想是能力提升的桥梁

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科，所以数与形紧密相连，新课标注重考查学生的能力和思维，例如，2016年全国卷Ⅰ第23题第(2)小题中求参数a的值，若正确掌握直线与圆的位置关系，学会在坐标系下观察问题，无论用直角坐标系还是极坐标系，都可灵活得出答案.2016年新课标全国卷Ⅱ第23题的第(2)小题，如果借助图形，则很容易求出直线的斜率，若用单纯的代数方法，则需要设直线方程，代入圆的方程进行运算，比较麻烦，其他年份的题目也体现了数形结合的思想方法.以2016年全国卷Ⅰ第23题第(2)小题为例：

【例2】直线C3的极坐标方程为θ=a0,其中tana0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

评析：理解θ=a0及tana0=2,易有C3:y=2x，条件是曲线C1与C2的公共点都在C3上,即是C2与C3的公共点都在C1上，利用数形结合，显然C1与C2的公共点所在的直线就是直线C3:y=2x.

(3)凸显几何图形性质，着重考查坐标系与方程的思想

近几年高考中，大部分试题考查直线与圆的位置关系，交点与弦长等几何量，在不同的坐标系下，解题思路与过程都存在着区别，大多数同学习惯先将其转化成直角坐标方程，研究其位置关系与几何量后，再返回到极坐标系中，这样做费时费力，且有时会带来烦琐的计算，如2016年全国卷Ⅱ第23题第(2)小题，将直线l转化为极坐标系方程，很容易得出答案.若用普通方程求解，则需要花费大量精力计算.所以我们在教学中应该在不同的坐标系下，凸显几何图形性质，针对性解决同类型的问题，让学生自己体会选择坐标系的重要性，进而引导他们合理选择坐标系，应用相关知识直接解决问题.

(4)体现参数的化繁就简优点，解决最值问题更便捷

近几年的全国卷都是利用椭圆的参数方程求最值的问题，属于基本题型，如曲线上的点到直线上的最值问题.继而转化到求坐标等问题，看上去题目复杂，但只要抓住本质，大胆尝试，其实是可以完成的，这个类型的特点是通过椭圆的参数方程，把问题转化为三角函数的最值进而处理.需和学生讲明白参数是辅助参数，它是主要变数关系的纽带.视“参数”为变数，就处于相对运动状态，转化为“范围” “轨迹”，更方便解决问题.

三、备考建议

围绕以上命题思路的分析，我们可明晰以下解题思想

1.掌握坐标间的互化型问题.互化型是指曲线的参数方程与普通方程的互化和直角坐标与极坐标的互化这两类，其解法要重视互化的前提条件，特别是极坐标和直角坐标互化仅适用于三同前提，一是极点与直角坐标系原点重合，二是极轴与直角坐标系正半轴重合，三是坐标系中的长度单位必须相同，这是教学中教师应着重强调的.

2.练习中注重多种方法解决，此处针对本题第(2)小题的设置.我们可以先尝试转化为普通方程，通过数形结合来解决.若遇到计算麻烦，譬如最值、直线与圆锥曲线的弦长问题，往往运用极坐标和参数方程来解决会更简洁.

(作者单位：广东省肇庆市百花中学)