空间直角坐标系中平面法向量的快速求法

◎卜宪江

(中山市小榄中学，广东　中山　528415)

一、传统方法

利用法向量与平面垂直的判定定理，在平面内任取两个不共线向量，由于法向量与它们垂直，构造一个三元一次方程组.这是一个基本方法，容易理解，但运算稍繁.

例1已知向量a，b是平面α内的两个不共线的向量，a=(-2，-1，3)，b=(1，-3，2)，求平面α的一个法向量n的坐标.

解设n=(x，y，z)，则由n⊥a，n⊥b得

不妨设z=1，所以n=(1，1，1).

二、快速方法

由于在平面内的两个向量是任取的，因此，可以取一个向量的坐标有一个0，也就是不共线的两个向量的六个坐标中只要有一个0，就可以快速求得法向量，并且正确率很高，对于高中生更加方便实用.

例2已知向量a，b是平面α内的两个不共线的向量，a=(1，2，0)，b=(3，5，1)，求平面α的一个法向量n的坐标.

设法向量n=(x，y，z)，因为n与a垂直，即n·a=0.故先取a的x，y的位置反过来为n的x，y.紧接着在x，y中任取一个为原来的相反数，即x=-2，y=1，z坐标待定，即n=(-2，1，z)，又因为n·b=0，即-2×3+1×5+z=0，所以z=1，即法向量n=(-2，1，1).

这种算法是从原来的三元一次方程组，变为只算一个未知数的方程，大大减少了计算量，在考试中节省了时间.

但是，当两个不共线的向量在同一个坐标的位置都出现0时，则不能用这个方法来求法向量.

例3已知向量a，b是平面α内的两个不共线的向量，a=(0，2，-2)，b=(0，3，1)，求平面α的一个法向量n的坐标.

若按刚才的方法，设法向量n=(x，y，z)，因为n与a垂直，即n·a=0.此时y=2，z=2，x坐标待定，即n=(x，2，2)，又因为n·b=0，即x×0+2×3+1×2=0，此时得不到答案.

但是，这两个向量可以很容易看出，它们是在yOz平面上，那么法向量就是平行于x轴的向量，即n=(1，0，0).

从而只要是带有0的两个向量，求法向量都可以用快速的方法.