初中函数与方程的关系探究

◎达慧芳

(甘肃省陇南市成县城关中学，甘肃　陇南　742500)

在初中数学当中，函数思想应用在解题当中的思路主要有两种，一种是借用初等函数的特性，解出有关求值、求解不等式和解方程以及参数取值等问题.还有一种是研究数学问题时，通过函数关系的建立和构造出中间函数，把所研究的问题转化成有关函数特性的讨论，起到化简的效果.很多方程问题都可以借用函数来解决，同时很多函数问题也能借用方程的办法来解决，初中数学中函数和方程是基础思想.

一、函数和方程相关概念的阐述

函数是给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f(A)，得到另一数集B，也就是B=f(A)，这个关系式简称函数.函数思想指的是利用运动和变化观点为视角，研究整理出数学中的等量关系来建立一种函数关系，起到转化问题的效果.

方程是表示两个数学式(如，两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，并且具有多种形式.方程思想主要以数量为主，运用数学的语言将问题转化为数学模型和方程组，再求解方程组将问题成功转化.

初中数学中这两种思想虽有不同但是密切相关，比如，求a×3+bx+c=0的根就是求y=a×3+bx+c当函数值为0时自变量x的对应值，函数和方程之间这种紧密地联系在初中数学中相互转化，并为彼此之间的转化提供了物质条件.

二、函数思想在实际中的应用

在初中数学中代数可以看成是带有变量的函数式，求代数值其实就是求指定的函数值，那么方程就是求已知函数在满足一定条件下的变数，尤其是函数值为0时自变量的值，函数的误差估计就是不等式的体现.这样看来，方程和不等式都属于函数的范围，实现了数学的统一思想，一元二次方程和一元二次不等式都是研究分析二次函数和二次三项式的特殊形式.

例如，已知实数x，y满足(3x+y)5+x5+4x+y=0，求4x+y的值.很快会发现可以变形为一个不等式，再转换成构造函数，用函数的单调性，把函数值相等的问题转化为自变量相等，让学生自行转化和完成.不等式是初中数学一个相对较难的点，如果能够构造成函数，让复杂的问题变得简单，不失为一个解决问题的好办法.

三、函数思想的使用分析

初中数学当中的数量关系有时候表现得并不是很直接，借用函数思想让数量之间转化为函数关系模式，就能找到比较有效的解决办法，构建出具体的函数模型来探究初中数学中遇到的问题，能让初中数学变得容易很多，这种思想也能帮助学生更好地理解数学，提高学习能力.

例如，某省人均耕地从1958年的2.82亩已经减到了2001年的0.99亩，这种情况若得不到有效的解决就会导致人均耕地不断下降，最后直到无地可耕，为了给预防做好准备，需要估算出这种情况最晚发生在哪一年.可以设x年后此省可耕地为y亩，则x和y就能建立一个函数关系式，从而求出答案.这个例子就是函数思想的表达，通过建立时间和耕地面积之间的函数关系让求解变得简单，如果直接进行计算就会让问题变得复杂并且极易产生错误.利用函数思想解决初中数学中的问题其实并不难，只需要构建出函数关系式，难点在于具体运用，教师要综合函数的性质和图形以及实际情况，充分而生动地给学生讲解函数思想，并且加强学生的日常练习.

四、方程思想的使用分析

在初中数学学习中，对于一些概念性的问题可以用方程思想来解决.例如，设中型汽车有x辆，而小型汽车有y辆.列方程为x+y=50和6x+4y=230.

运用寻找基本等量关系和特殊等量关系就能解决初中数学的简单一元一次方程和二元一次方程以及分式方程等问题，让学生找到规律去解题，摆脱题海战术的思想负担，引发学生的学习兴趣，拓展学习思路，提高学习效率，学会用数学解决实际问题.方程思想就是运用方程的观点，拿已知量和未知量列出不等式或者等式，再进行方程求解，这一思想是方程思想的关键所在.

五、数学思想的合作讨论以及拓展思维

在数学教学中，研究讨论是必不可少的学习方法，研究讨论的具体方式不但可以提高学生对于数学知识的理解和掌握，还能在研究讨论中有效地培养出学生的数学思维模式.在日常的数学教学中教师可以将学生进行分组讨论，积极引导学生之间进行有效的讨论和交流，给学生提供研究讨论的时间和空间.比如，在学习函数方程的时候，教师可以让学生分组进行讨论，对函数方程中的各种特质都进行归纳和分类.合作讨论是数学教学的重要方法，加深学生对数学的理解，并且提供自主和轻松的学习环境，引发学生的学习兴趣，顺便也培养了学生的团结互助精神，明白了团队的重要性.

函数和方程是初中数学的重要部分，对整个数学学科都有着非常重要的作用，所以要充分强调函数和方程的重要性，提高学生对于数学的理解和兴趣，对于提高学生的综合素质也非常有帮助.