极点与极线的几何意义及应用

◎阳友雄

(珠海市第一中学平沙校区，广东　珠海　519055)

极点与极线，是法国数学家笛沙格(Girard Desargues，1591—1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中提出来的，其定义如下.

一、圆锥曲线极点和极线的定义及其几何意义

已知圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)，则称点P(x0，y0)和直线l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.

定理1极点和极线的几何意义如下：若点P和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线，则：

(1)若极点P在曲线C上，则极线l就是曲线C在点P处的切线；

(2)若过极点P可作曲线C的两条切线，M，N为切点，则极线l就是直线MN；

(3)若过极点P的直线与C交于M，N，则C在M，N处的两条切线的交点Q在极线l上；

(4)若过极线l上一点Q可作C的两条切线，M，N为切点，则直线MN必过极点P.

证明设极点为P(x0，y0)，则极线l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

(1)方程Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0两边对x求导得Ax+Cyy′+D+Ey′=0，

代入切线方程化简得切线方程为l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由(1)得曲线在点M(x1，y1)处的切线方程为Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0，而此切线过点P(x0，y0)，

所以有Ax1x0+Cy1y0+D(x0+x1)+E(y0+y1)+F=0.

同理得Ax2x0+Cy2y0+D(x0+x2)+E(y0+y2)+F=0，

故过直线MN的方程为Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0，

故极线l就是直线MN.

(3)设Q(m，n)，由(2)得直线MN的方程为Amx+Cny+D(x+m)+E(y+n)+F=0.

又直线MN过点P，所以有Amx0+Cny0+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0，故曲线C在M，N两点处的两条切线的交点Q在极线l上.

(4)设Q(m，n)，由(2)得直线MN的方程为Amx+Cny+D(x+m)+E(y+n)+F=0.

又点Q(m，n)在直线l上，所以Amx0+Cny0+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0.

由以上两式可知点Q(m，n)在直线MN上，即直线MN必过极点P.

推论3对于抛物线y2=2px，则极点P(x0，y0)对应的极线方程为y0y=p(x+x0).

二、圆锥曲线极点和极线的应用

例1(2014·辽宁高考题)已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，求直线BF的斜率.

(1)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于一点；

(2)设点P是直线l上一动点，过P作C的两条切线PA，PB，A，B为切点，求证Q在AB上.

即D(x3，y3)在l上，故l，l1，l2相交于一点.

将Q(-1，-1)代入可知符合方程x0x-(x0+4)y-4=0，即Q在直线AB上.