再探究柯西不等式在2017年高考数学中的应用

◎王立荣

(陕西省商洛市商州区大荆中学，陕西　商洛　726001)

柯西不等式是高中数学中的一个重要不等式，它在中学数学中有多方面的应用.近几年柯西不等式在全国各地高考试题中的应用屡见不鲜.2017年全国及各地高考数学试题中，柯西不等式又体现了其应用的广泛性.下面略举几例，供大家参考.

一、在不等式证明中的应用

例1(2017年全国Ⅱ理23)已知a>0，b>0，a3+b3=2.证明(a+b)(a5+b5)≥4.

证明由二元柯西不等式，得

∴(a+b)(a5+b5)≥4.

例2(2017年江苏21D)已知a，b，c，d均为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16.证明ac+bd≤8.

证明由二元柯西不等式，得

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，4×16≥(ac+bd)2，

∴(ac+bd)2≤64，∴ac+bd≤8.

二、在向量中的应用

解如图所示，建立以B点为原点的平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(2，1).

∴(x，y)=λ(0，1)+μ(2，0)=(2μ，λ)，

∴x=2μ，y=λ.

∵已知圆与BD相切，设切点为E，连接CE，则CE⊥BD，且CE是圆的半径.

∴(2μ+2λ-4)2≤4，∴2μ+2λ-4≤2，

∴λ+μ≤3，∴λ+μ的最大值是3.

∴此题答案为A.

三、在最值中的应用

例4(2017年北京文11)已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是________.

解由柯西不等式，得

(12+12)(x2+y2)≥(1·x+1·y)2=(x+y)2=1，

四、在解析几何中的应用

∵a>0，b>0，由柯西不等式，得

即(2a+b)×1≥8,∴(2a+b)≥8,

∴2a+b的最小值是8.

五、在三角函数中的应用

例6(2017年全国Ⅱ文13)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为________.

解由柯西不等式，得

(22+12)(cos2x+sin2x)≥(2cosx+sinx)2,

即5≥(2cosx+sinx)2,

总之，柯西不等式的广泛应用在多年的高考试题中均有体现，尤其在2017年全国和地方高考试卷中都有柯西不等式应用的影子.因此，在高三数学复习中，柯西不等式应引起足够重视.当然，在应用柯西不等式时，柯西不等式形式的灵活构造这一数学构造思想显得尤为重要.