“针对性”图象解决单调性问题

摘要：本文主要是提供一种解决求单调区间问题的方法：导函数的正负决定原函数的增减，而要判断导函数的正负，我们可以将导函数中已确定正负的部分摒弃掉，遗留下来的部分作为一个新的函数，即为本文中的“针对性函数”，通过作这个“针对性函数”的图象来研究原函数图象。这种方法可以化繁为简，也很形象，易于理解，因此是一种很适合推广的方法。

关键词：单调性；单调区间；图象

【例1】求函数f（x）=ln（1+x）-14x2的单调区间。

分析：定义域为（-1，+∞），f′（x）=11+x-x2=-x2-x+22（1+x）。

作二次函数g（x）=-x2-x+2在（-1，+∞）的大致图象：只需考虑开口方向、与x轴交点，因此将表达式化为两根式即g（x）=-（x+2）（x-1），作出图象如图1即可得：递增区间为（-1，1），递减区间为（1，+∞）。

图1

作图步骤说明：（1）根据定义域作出直线x=-1（虚线）表示所作图象只有在其右侧有效。（2）因f′（x）的分母部分不影响正负，所以不用考虑。（3）找出f′（x）的分子部分 g（x）与x轴的交点（可采取上述方法，也可解方程-x2-x+2=0），得到图中x轴上横坐标为-2和1的点，结合开口向下作出抛物线图象（有效部分画实线）。

【例2】求函数f（x）=ln（x+1）-x+k2x2的单调区间。

分析：定义域为（-1，+∞），f′（x）=1x+1-1+kx=kx2+（k-1）xx+1。

作函数g（x）=kx2+（k-1）x在（-1，+∞）的图象，关注二次項系数及图象与x轴交点。

因二次项系数k不确定且g（x）与x轴一个交点横坐标1-kk与另一交点横坐标0及-1的大小关系也不确定，所以分成以下情况：

①k=0时，g（x）=-x，递增区间为（-1，0），递减区间为（0，+∞）

例2情况①

②k>0时，1-kk=1k-1>-1

（ⅰ）1-kk<0时，递增区间为-1，1-kk和（0，+∞），递减区间为1-kk，0

（ⅱ）1-kk=0时，递增区间为（-1，+∞）

（ⅲ）1-kk>0时，递增区间为（-1，0）和1-kk，+∞，递减区间为0，1-kk

例2情况②（ⅰ）

例2情况②（ⅱ）

例2情况②（ⅲ）

③k<0时，1-kk=1k-1<-1

例2情况③

递增区间为（-1，0），递减区间为（0，+∞）。

作者简介：

蔡祥波，中学一级，福建省晋江市，福建省晋江市养正中学。