一个代数不等式的n元推广

王东生　石焕南

(1.北京电子科技职业学院基础部 100026;2.北京联合大学师范学院基础部 100011)

1998年9月法国路易·巴斯德大学的Mohammed Aassila教授，在Crux Mathematicorum With Mathematical Mayhem杂志上提出了一个代数不等式：

设a,b,c>0，则有

(1)

该不等式曾经作为2006年巴尔干数学奥林匹克竞赛试题.

2003年罗欲晓将式(1)加强为[1]：

设a,b,c>0，则有

(2)

2011年陈建英将式(1)推广为[2]：

设a,b,c>0，λ>0，则有

(3)

尔后，安振平发现了式(3)的错误并将其更正为[3]：

设a,b,c>0，λ≥1，则有

(4)

上述讨论都只局限于三元变量形式，而对于n(n≥2)元变量有没有类似的不等式成立，文[1]～[3]中都没有涉及，本文通过研究发现，在一定条件下，可将式(1)推广到n元变量.

定理1当n≥3时，对于xi≥1(i=1,2,…,n) 有

(5)

成立.

而

定理1证毕.

定理2当n≥2时，对于xi>1 (i=1,2,…,n)，有

(6)

成立.

而

定理2证毕.

引理1[4]设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，k1,k2,…,kn是{1,2,…,n}的任意排列，则

(7)

仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立.

引理2[5](Jensen不等式)设f(x)是开区间(a,b)内的凸函数，那么，对于(a,b)内的任意n个实数x1,x2,…,xn，有

(8)

定理3当n≥2时，对于0

(9)

证明先证

设y1,y2,…,yn是x1,x2,…,xn的一个递增排列，则

由引理1有

即

其中j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意排列.

这样取yji：当yi=xk(k

于是有

(10)

f″(x)=2x-3(1-x)-3[(1-x)2-x(1-x)+x2]

=2x-3(1-x)-3[(1-x)2-2x(1-x)+x2+x(1-x)]

=2x-3(1-x)-3{[(1-x)-x]2+x(1-x)}≥0.

由引理2有

再结合式(10)有

定理3证毕.

注(1)定理1对于n=2是不成立的.实际上， 取x1=1，x2=2，则有

(2)当n>3时，式(5)对于0