对数学问题2251号的探究

陈　清　钟建新

(江西省赣州师范高等专科学校　 341000)

1　《数学通报》2251号问题引发的思考

《数学通报》2015年7月号问题2251为：如图，已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c，设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA，求证：

对数学问题2251，提供人刘老师利用正弦定理结合相关的几何结论给出了证明．其实点P就是几何中常说的勃罗卡点，一个数学中经典的几何点.

从19世纪的最后20多年，在欧洲曾出现过一阵对勃罗卡问题的研究，可谓成果累累，其中等式cotα=cotA+cotB+cotC(α为△ABC的勃罗卡角)就是当时提出的关于勃罗卡点的一个基本性质．

近些年来，国内的数学刊物陆续刊登了一些勃罗卡问题方面的文章，如《数学通报》杂志分别在1993年第3期、2000年第5期、2010年第12期、2014年第7期刊登了《勃罗卡点的一个计算公式》、《勃罗卡角计算公式》、《一个奇妙的向量恒等式》、《与勃罗卡相关的一个几何最值问题》四篇论文，可见勃罗卡问题是初数研究的好素材，对它的研究经久不衰，成果给人启迪．基于此笔者另辟蹊径，从问题2251出发， 得出与勃罗卡点关联的不等式，可以说是对该问题的新探究．

2　2251号问题的探究

定理1已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c，设P为△ABC的勃罗卡点，则

证明由文[1]知

要证不等式(1)须证

不妨令x=a2,y=b2,z=c2，则等价于证明

⟺y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3-2x2y2z-2xy2z2-2x2yz2≥0

⟺y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3

≥2x2y2z+2xy2z2+2x2yz2．

我们知道

y(yz-yx)2+z(zx-zy)2+x(xy-xz)2≥0，

整理得

y3z2+y2z3+z3x2+z2x3+x3y2+x2y3

≥2x3yz+2xy3z+2xyz3．

又据平凡不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx，

两边同乘2xyz，可得

2x3yz+2xy3z+2xyz3≥2x2y2z+2xy2z2+2x2yz2，

从而不等式(1)得证．

证明记△ABC的外接圆半径为R．因为P是△ABC的勃罗卡点，

设∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，

则∠BPC=π-α-(C-α)=π-C，

据Cauchy-Schwarz不等式、熟知的不等式

∑a2≤9R2及均值不等式得

笔者进一步从勃罗卡点引申到三角形内任一点，得到与问题2251关联的新结论．

证明由文[2]Klamkin惯性极矩不等式可得

记x=a2,y=b2,z=c2，则要证不等式(2)只要证明

则不等式(2)得证．

因(ab-c2)2≥0，则(ab-c2)2=b2c2+c2a2+a2b2-c2[(a+b)2-c2]≥0，

又4rarb=(a+b)2-c2，

上述三式相加得