初中数学课堂例题变式

江苏省海门市海南中学 李 英

其实，变式就是创新，而变式题就是在题目上进行创新。多角度地对学生进行变式训练不仅可以帮助学生全面客观地掌握知识，对数学思想方法融会贯通，还能激发学生的求知欲望，发展学生获取新知识的能力。但变式并不意味着可以随意改变，而是要准确抓住问题的基本特征，根据学生的实际情况，适当地进行变式。有效的练习题变式还需要学生主动地参与进来。不但要参与题目文字、图形的改编，还要在练习题变式后对解题方法与结论进行自我反思与总结，找出每种题型的特征，整理出一个可操作性的数学知识体系，帮助自己更好、更快地掌握数学知识和解题技能，以“不变”应“万变”。

一、“小题”变式

例题教学，首先要保证学生听得懂，接受得了，让学生自己说出题目所涉及的知识点。要做到这一点，教师可以围绕例题设计一些“小题”，引导学生从解决小题的过程中去识别例题的知识点，为掌握例题搭好合理的台阶。

案例1：人教版“一元二次方程”中的例题：“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？”为了帮助学生顺利快速地理解题意，可以变式成这样几个小题。

变式1：若1人传染给2人，一轮后有几个人患流感？第二轮中有几个传染源？若在第二轮中还是一人传染给2人，那么第二轮传染了几个人？两轮后共有多少人患流感？

变式2：若1人传染给10人，一轮后有几个人患流感？第二轮中有几个传染源？若在第二轮中还是一人传染给10人，那么第二轮传染了几个人？两轮后共有多少人患流感？

变式3：若1人传染给n人，一轮后有几个人患流感？第二轮中有几个传染源？若在第二轮中还是一人传染给n人，那么第二轮传染了几个人？两轮后共有多少人患流感？

二、一题多解变式

从不同的角度，应用不同的知识，采用不同的思维方法去解答同一道例题或习题，使前后知识联系起来，有助于学生熟练掌握教师所讲的数学知识，并拓展学生解题思维的广阔性和灵活性，从中掌握好解题的基本方法，探索最佳方法。

图1

案例2：在复习“一次函数”时有这样一道习题：如图1，直线交x轴于点A（6，0），交 y 轴于点 B（0，8），把直线AB沿过点A的直线翻折，使点B与x轴上的点C重合，折痕与y轴交于点D，求直线CD的解析式。

本题求直线CD的解析式，主要求点C、点D的坐标，点C坐标的求法比较单一。利用翻折的性质得AC=AB=10,所以OC=AC-OA=4,因为点C在x轴的负半轴上，所以点C为（-4，0）。在求点D坐标时存在多种不同的解法。

解法 1：（勾股定理）设 D（0，m），则OD=m，CD=BD=8-m，在 Rt△COD 中，∠COD=90°,根据勾股定理可得方程m2+42=(8-m)2，∴m=3，∴D（0，3）。

解法2：（相似三角形）由翻折得∠OCD=∠OBA，∵∠COD=∠BOA=90°，

解法3：（锐角三角函数）由翻折得

∠OCD=∠OBA，

三、一题多变变式

改变命题条件，或改变结论，或条件结论互换，或改变图形的位置与形状，或改变题目的陈述，形成阶梯形题链，强化知识点间的联系，在层层递进的深化过程中完善学生的知识结构，培养学生的创新意识和举一反三、触类旁通的变通能力，促进知识的迁移。

案例3：人教版“一元二次方程的根与系数的关系”中的例题：“已知关于x的方程2x2+kx-9=0的一个根为-3，求另一个根及k的值。”

变式 1：已知关于 x的方程 2x2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k的值。

变式2：已知关于x的方程2x2-5x+k=0的两根互为倒数，求k的值。

变式3：已知关于x的方程x2+kx-1=0的两个实数根的平方和是11，求k的值。

改变命题条件的变式强化了一元二次方程的两根与其系数的关系。

案例4：人教版“圆”中的例题：“如图2，⊙O的直径CD⊥AB于P，CD=10cm，OP=4cm，求弦 AB的长？”

图2

变式1:⊙O的直径CD与弦AB交于点P，且 P为AB的中点，CD=10㎝，AB=6㎝,求 OP 的长。

变式 2:⊙O的直径 CD⊥AB于 P，CP=1 ㎝，AB=6㎝,求⊙O半径的长。

条件与结论互换的变式可以让学生充分掌握半径、弦、弦心距三者之间的关系，只要已知其中的两个量，一定能求出第三个量。

四、多题一解变式

有些题目看上去毫不相干，但解题的思维方法却完全一样，进行多题一解变式，找出题目的共同特征，强化基本解题方法和解题模式，使学生掌握基本解题技巧，培养学生的收敛性思维。

案例5：人教版“正方形”中的习题：“如图3，已知四边形ABCD，DEFG均为正方形，求证：AE=CG.”

证明：∵四边形ABCD、GDEF为正方形.∴CD=AD，GD=DE，∠CDA=∠EDG=90°，

∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，

即：∠CDG=∠ADE，

∴在△CDG和△ADE中，CD=AD，∠CDG=∠ADE，GD=ED，∴△CDG≌△ADE.∴AE=CG.

图3

图4

变式：如图4，△ABC和△CDE都是等边三角形，求证：BE=AD。

证明：∵等边△ABC，△CDE.

∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE，

即：∠BCE=∠ACD，

∴ 在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD.

从上面两题的解法中不难发现都是通过SA S证三角形全等而得到两线段相等的，这两题的共同点是命题条件中的两个多边形的形状相同且有一公共顶点。所以可得出一基本方法是：有一个公共顶点且形状相同的两个多边形中一定能找到一对全等三角形，而且证明依据是SA S.

在例习题变式教学过程中，教师要精选例题，对各种题型进行合理的变式，不能一味地变怪、变难，变式的题型要符合中学生的认知能力和学识水平，引导学生在“变”中寻找“不变”的本质，在“不变”中探索“变”的规律，才是一种帮助学生掌握知识、学会解题的有效教学方式。

[1]黄嘉玲.初中数学教学中的变式教学[J].数学学习与研究，2013-08-20.

[2]刘振华.浅析初中数学例题变式教学[J].中学时代，2013-02-25.

[3]沈利明.浅谈初中数学例题教学中变式教学策略[J].考试与评价，2015-06-01.

[4]罗永玉.初中数学习题课变式教学初探[J].中学数学，2004-05-20.