《三角形面积》学习中学生的元认知及其分析

浙江宁波市鄞州区江东外国语小学　史　炯

在教学“三角形面积”这一内容时，笔者认为不能只局限于用“倍拼”法，学生的学习方法应该是多样的，如“剪拼”“出入相补”法等。因此，笔者在上课时，特意为每个小组准备了各类三角形，然而学生还是以“倍拼”法为主，为此，笔者制定了2组前测题，以了解学生的学习起点。学生完成前测题1后，再下发前测题2，其目的在于防止学生因为方格纸的暗示，修改前测题1的结果。

前测题1：

（1）下面图形的面积是指哪一部分呢？涂色表示。

（2）你们知道三角形面积的计算方法吗？如果知道，请写下来。

前测题2：

你们能不能用转化的数学思想推导出三角形的面积计算方法？

①转化：我将三角形转化成____________。

②关系：三角形和转化后图形的面积有什么关系？

③三角形的面积公式是：

我的理由是：

测试结果：

前测题1能正确推导出公式的学生占了32.25%，前测题2能正确推导出公式的学生占了46.8%，前测题1中学生以“倍拼”法为主，而前测题2中不但出现了“倍拼”法，还出现了中位线分割的“出入相补”法，以及把三角形补成长方形的方法。

思考一：知道≠理解

两组前测题中，学生都出现了把两个相同的三角形拼成一个平行四边形的情况，再由平行四边形的面积推理出三角形的面积计算方法。但在前测题1中，学生都只把三角形“倍拼”成平行四边形，并无其他图形。笔者猜想，在没有方格图辅助的情况下，学生的原始思维就是“拼”成平行四边形。可能受到课本《平行四边形面积》配套练习的影响（如下图），禁锢了学生的思维。笔者还发现，前测题1中虽然有41.17%的学生知道三角形面积公式，但只有32.25%的学生能正确推导出三角形面积公式。显然，一部分学生虽然在课外通过各种途径知道三角形面积的计算方法，但只知其然，而不知其所以然。

思考二：“新方法”多了，方格纸是功臣

前测题2中不仅能推导出公式的学生多了，而且出现了“倍拼”成横竖两种长方形和“出入相补”的方法，这是非常令人欣喜的。通过与前测题1的对比中，笔者认为方格纸是这节课教学中不可缺少的辅助媒介。

基于上述分析与思考，笔者提出以下几条教学建议，供同行借鉴。

一、找基石，促使每位学生获得增量——精选学习素材

学习材料是数学学习的基石，它直接决定着课堂教学的效率，好的学习材料不仅能激发学生学习的欲望，而且能最大限度地开发学生学习潜力，拓展学生的思维深度与广度，培养学生求异思维。

在本文开头，笔者给学生提供的材料是比较全面的，有全等的三角形，有单个的三角形，为了降低思维难度，单个的三角形还带有方格。为什么在素材如此之多的情况下，学生还是只想到“拼”一种方法呢？究其原因，是笔者忽视了学生都是一个个活生生的个体，是一个独立的“人”，人最大的弱点就是——“惰性”。既然材料中有两个一模一样的三角形，学生肯定会选择这种简单的方法，也就不会再去思考另外的方法了。因为两个一模一样的三角形是“显性”的，而单个的三角形虽然有方格纸的衬托，但相比而言，终究还是“隐性”的，这就是学生们“偷懒”的根源。而且，单个的三角形在剪拼以后，破坏了原图，学生很难找到新旧图形之间的联系，这就是为什么在课堂上个别学生想出了“剪拼”的方法，却无法推理出三角形面积的原因。

破除惰性，那就“逼”学生一把，可以提供带有方格纸的学习材料，促使学生去寻找三角形的特点。有些学生能在方格纸中想象出一个平行四边形，就出现了“倍拼”的方法；有些学生会利用方格纸去研究三角形本身的特征，就出现了“倍补”，即补成长方形的方法，抑或是“出入相补”的方法。通过前测题，笔者可以预见，这些方法学生不难想到，即使无法完成推理全过程，他们也能想办法把三角形转化成学过的图形，并试图寻找新旧图形的联系，一个小改变，赶走惰性，激发灵感，让不同的学生在原有的基础上都能有所发展。

二、搭脚手架，理顺学习思路——有效利用导学单

核心素养中提出，要让学生学会学习，要让学生养成良好的学习习惯，能自主学习。毋庸置疑，导学单就是一个能帮助学生自主学习的脚手架。一份切合学情的导学单不但可以让师生在教学过程中有据可循，而且可以帮助学生理顺思路。

笔者在教学“三角形面积”这一课时，也曾利用过导学单：

但是效果却不甚理想，除了推导方法单一，更糟糕的情况出现在第二问：转化前后两个图形的联系。由于指向性不明确，学生想到的联系是五花八门的，有学生说：“转化前后，周长变了，面积不变”；更多的学生在“等积变形”后，找不到底和高之间的联系，即使是找到了联系，却无法与三角形的面积进行联系。因此，这样的导学单还无法达到“导”的目的。

从前测题中，笔者也发现了，很多学生会把三角形转化成能求面积的图形，但找不到联系，尤其是“高”的联系，那是因为“高”是隐性的，它隐藏在图形里面。所以，设计导学单时，要为学生们创设一些阶梯，如果学生能拾级而上，才能真正发挥“导”学的作用。改变后的导学单如下：

改变后的导学单，虽然开放度缩小了，但这是基于学生实际情况做出的调整。这些提示紧紧抓住了思维的关键之处，尤其能帮助学生理顺在“等积变形”中底和高的变化关系。

三、理思路，善比较，挖掘知识内涵——深度对比“÷2”

“有比较才有鉴别”，把相似的问题放在一起找出区别与联系，通过对比的方法可加深对概念的理解。所以，在教学中教师要善于运用对比的艺术，每次出现“÷2”时，若都能及时指导学生进行对比，对促进学生理解知识是非常有帮助的，并且在对比后若能及时梳理，可以让学生清晰地认识到“÷2”的必要性。

例如，当学生由平行四边形的面积计算方法推理出三角形面积计算方法时，教师可以追问：这里的除以2是什么意思？当学生通过“出入相补”法推导三角形面积公式时，再次追问：这里的“÷2”又是什么意思？还是平行四边形面积的一半吗？第三次追问可安排在对比两种“出入相补”法处：这里都出现了“÷2”，它们所代表的意思一样吗？在小结时，可进行第四次追问：我们现在都知道三角形的面积是底×高÷2，为什么要“÷2”？并且对所有的“÷2”运算顺序进行梳理。

通过这样的梳理，既可以让学生发现这些方法最终都是“殊途同归”的，也可以让学生直观地看到，根据计算的需要，有时候底和高先乘再除以2，有时候可以先求底的一半再乘高，还可以先求高的一半再乘底。通过“数形结合”让学生直观地感悟到“÷2”的意义，而不是机械记忆。

通过分析前测题的数据，能让教学者真正走进学生内心。有时候，停下来，听听学生到底在想什么，思考理论上的知识难点究竟是不是学生们真正的认知难点，这样才能更好地帮助教师们“因材施教”，才能让学生们学得轻松，真正做到乐学、善学。♪