两数之差是最大公因数，凑巧吗

郑烨婷

摘 要：列举法、筛选法、短除法是求最大公因数的三种常用的方法，但教材中例题不乏两数之差既为最大公因数的“巧合”。引导学生对“巧合”进行探究、辨析原因，把课堂意外提升、转化为对教学的思考和探究的乐趣，有效激发学生的学习热情。

关键词：求最大公因数；差除法；质疑；教学思考和探究

教学内容

最大公因数是人教版五年级下册“分数的意义和性质”单元的知识。学生在这之前学习了因数和倍数的概念，可以较快得出一个数的因数，这为本节课的学习奠定了基础。同时通过本节课学习，为学生接下来学习其他运算打下良好基础，如约分、分数运算等。本节课的学习目标：一是经历公因数和最大公因数的产生过程，理解其意义；二是在解决问题的过程中，通过自主探究、小组交流，探索和研究最大公因数的求法，学会求两个数的公因数和最大公因数；三是体验和感受算法的多样化。

教学设计

最大公因数是通过寻找、对比两个数的因数建构产生的概念，内涵比较丰富。概念课是抽象、乏味的，所以在教学中，笔者通过“点名游戏”（座号是18的因数、座号是27的因数起立）引入，既调动学生的积极性，又直切主题。在新知探究环节，引导学生利用各种途径找到公因数、最大公因数，最后与学生共同探讨规律。整节课通过“玩一玩——试一试——议一议——算一算”四个教学环节来开展，将新课标提出的学习模式充分展现出来，如自主探究、合作交流等。并将课堂教学活动过程中以学生为主体、教师为主导、培养学生思维模式的主线充分凸显出来，实现高效的课堂教学模式。

教材陈述

教材以“求18和27的最大公因数”为载体，介绍了若干种求最大公因数的方法。

方法一：列舉法。就是把两个数的所有因数分别写出来，通过对比、观察，找出公因数，从而得到最大公因数。

18的因数：1，2，3，6，9，18；

27的因数：1，3，9，27；

18和27的公因数1、3、9中，9最大。

方法二：筛选法。先写出一个数的全部因数，然后从这些因数中找出另一个数的因数，相同的这个数就是这两个数的公因数，最后再找出两数的最大公因数。

18的因数中1、3、9也是27的因数，所以18和27的最大公因数是9。

接着，以小精灵提问的方式引导学生思考、探讨：你还有其他方法吗？和同学讨论一下。在这个环节主要引导学生结合课本第61页的“你知道吗”探讨用“短除法”来求最大公因数。

教学片段

本节课，笔者通过列举法来引导学生寻找公因数，接着运用集合的表示方法将18和27两个数所具有的因数一一罗列出来，分析这两个数的因数后就可以找出它们的公因数，并引出最大公因数。最后，得出18和27的最大公因数是9，从而加深学生对公因数和最大公因数认识。

接着，引导学生思考、探究、归纳，怎样求解两个数的最大公因数。

探究完以上三种求最大公因数的方法后，呈现了一道练习题。

练一练：求30和45的最大公因数。

学生动笔计算，笔者在巡视过程中发现有学生这样作答：45-30=15，所以（30，45）=15。

笔者以为该学生“模仿”例题（18，27）=9，以两数之差凑巧得到最大公因数。因此，在讲评环节，特地展示了这位学生的作答，还请这位学生上台介绍自己的做法，他的确说不出所以然来。

于是，笔者顺势引导。

师：像这样过程错误、凑巧得到答案的做法是不合理的，你们认为呢？

学生纷纷议论起来，不过也有学生提出了质疑。

生1：可是两数相减求出来的差确实是它们的最大公因数，如（8，12）=4，（18，27）=9，这两组数的最大公因数都是它们之间的差。

生2：24-6=18，但是（6，24）=6。

教室里辩论的声音逐渐消失。这时，一个学生站起来说：老师，我觉得用减法求最大公因数有道理。如：45-30=15，如果a是45和30的公因数，说明a能整除45，a也能整除30，那么a也能整除它们的差15，也就是a也是15的因数，所以这不是巧合，两个数的最大公因数和它们的差是有联系的。

这个学生说完之后，教室里突然安静了下来，笔者也陷入沉思。的确这个学生说的是很有道理的，两数之差和两数的最大公因数确实存在着内在的联系。在短暂的沉默之后，笔者意识到，这是一个很值得探索的内容，也是一次很难得的课堂生成。于是，笔者引导学生进行更深入的探讨。

师：这位同学说的有没道理呢，请小组讨论一下。

教室里的讨论骤然热烈起来，接着有几个学生起来补充。

生3：45和30的最大公因数是它们差15的因数，就可以用筛选法从15的最大因数开始筛选，如果它是45和30的因数，那么它就是所求的最大公因数。

生4：求解两个较大数据的最大公因数时，采用减法方式来求解是比较简便的。以求1280和1256的最大公因数为例，这两个数都很大，用列举法、筛选法、短除法都比较麻烦。但是我们发现1280-1256=24，它们的差24较小，较容易列出它的因数。24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，我又发现1280的4个数字之和是11，1256的4个数字之和是14，说明它们都不含有因数3，所以24的较大因数12、24都可以排除。接着，最大的因数8可以整除1280和1256，所以（1280，1256）=8。

该生向大家展示了他们的讨论成果、解释他们小组的想法。话音刚落，教室响起热烈的掌声，一个个羡慕、钦佩的眼光都投向了该生。

师：同学们太棒了，你们在这么短的时间内理解了这种方法，并能解释得如此清晰、明了，感谢你们带动了老师的思考，老师也要向大家学习。看来，用“求差法”也能找出两数的最大公因数，并且对于求两个较大数的最大公因数，用“求差法”更方便。同学们，我们也给这种方法取个名字……

生：陈氏求差法（对于课堂上的小发现，我们都很有默契地冠上发现者的名号）。

教学反思

1. 备课不足。对于用差求取最大公因数没有做好知识准备，在备课过程中过于专注常用的3种方法，没有很好地了解课本之外的方法。在点评错误过程中，先入为主，没有过多思考两数之差与公因数的关系。但好在注重引导学生的思考，通过学生的质疑和讨论，逐步理清思路，有效地控制了课堂节奏。

2. 有效掌控。这节课备课环节有欠缺，但课堂效果却又是一堂标新立异，培养学生独立创新思维的良好实践。主要是利用学生的错误，引导学生讨论，激发学生思考热情。因此，重视学生的每一次错误、每一次质疑，努力创建各种思维、各种方法的互动交流平台，是保护学生探索欲望的关键手段。错误也可看作是一种资源，其价值并非是其本身所带来的，而是由于教师将错误这种资源充分利用起来，灵活且正确地将其应用到课堂教学活动中。学生的潜能无限，永远不要低估学生的能力。教师要做的就是努力创造和设计与学生自主学习、研讨、展示相符的环境，学会耐心守候，等待花儿绽放的时候。唯有这样，才能培养出学生的探索能力和研究能力。

3. 享受过程。数学的教学与学习的终极目标不是让学生简单地获得数学知识和解题技能，更在于让学生经历、体验、享受学习的过程，学会思考，激发学习热情。教师应善于引导每次的课堂生成，让学生有“获得感”，树立自信。

4. 教材编排建议。教材呈现的两道例题：8和12、18和27的最大公因数恰好就是它们的差，这可能会引起少部分学生的误解，在归纳总结过程中断章取义认为“求差”即可。两道例题存在同质性，可考虑更换一道例题，如12和20，以避免误解。