从几道小学测试题看“数形结合”思想的培养

◎毛鸿雁

笔者近期接触到几道小学五年级的测试题，深刻体会到小学是培养学生“几何直观”的一个很重要的时期，很多复杂问题都要通过“数形结合”来帮助理解从而达到简化效果，具体可以通过作“线段图”化抽象为直观、化复杂为简单，可以说“线段图”是学生最早接触的“数形结合”的一种。在此，简单举几个例子说明。

1：今年爸爸48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，爸爸的年龄恰好是兄弟俩的和，请问今年弟弟多少岁？

分析：此题放在五年级测试卷中，主要考查学生通过列简单方程解决问题的能力。学生解决问题的难点是：由于题目条件中涉及的量有点多且抽象，导致学生理不清题意中的各个量之间的联系，很难根据题意直接列出方程。此时若借助“线段图”整理其中的数量关系，就让数量关系变得直观、简明！（如图）

假设弟弟今年x岁，不难理解，“当弟弟长到哥哥现在的年龄”是指经过年后，所以根据题意可以列方程：48＋x＝2x＋3x，从而解决问题。

2：有兄弟两人，哥哥对弟弟说：“我在你这么大时，你才1岁！”弟弟对哥哥说：“我到你这么大时，你已经31岁了！”问，兄弟俩各多少岁？

分析：这是一个推理题，学生解决这个问题遇到的难点是题中的未知量很多，弟弟现在多大？哥哥现在多大？弟弟到哥哥那么大时是多少年后？哥哥在弟弟那么小时又是多少年前？就现有的两个已知量之间很难找到相等关系，会让很多学生觉得无从下手！但是，一旦我们作出线段图将数量关系整理出来，就会轻松理清数量间的关系，容易发现在这个问题中最关键的量是年龄差。（如图）

设兄弟间年龄差为x岁，则根据题意可以列出方程：3x＝31-1，从而解决问题。

3：请用数学思维解决问题：

三人同时从工厂乘出租车回家，事先讲好三人分担车费，丙最后到达终点付车费90元，已知甲到了全程的处下了车，乙在全程的处下了车。问甲乙分别应付给丙多少车费钱？

分析：这个题相对比较开放，题目中没有说清楚三人按什么方式分担车费。

思路一：如果简单粗暴的解决问题，三人平均分摊车费，那么90÷3＝30元/人。而这样的分配车费方式显然不合理，毕竟每人乘坐出租车的路程不一样。

思路二：如果按照每人乘坐出租车的路程比例来看这个问题，甲乘坐的路程占全程的、乙乘坐的路程占全程的、丙乘坐的路程占了全程的1。所以可以将全程分成2份，其中甲占了份，乙占了份，丙占了1份。也就是如果把车费看成“1”的话，甲应该付总车费的÷2＝，同理乙应该付总车费的，而丙则应该付总车费的。（如图）

所以甲付15元车费，乙付30元车费，丙则实际付45元车费。

思路三：如果按照出租车实际行驶路程产生的费用来分摊，我们可以把90元车费看作是三段路程的车费总和，每一段车费30元。第一段路程3人平均分摊，每人10元；第二段路程2人平均分摊，每人15元；第三段丙一人承担30元。（如图）

所以，甲付10元车费，乙付25元车费，丙则实际付55元车费。

通过几个例子我们体会到，“数形结合”能启迪思路，帮助理解。我国数学家华罗庚先生就曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”因此在教学中，要引导和鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透“数形结合”的数学思想。