关注作图过程，性质提取破题

朱秀娟

[摘 要] 结合尺规作图的几何综合题是初中的重点题型，是以操作探究的形式，培养学生实践能力为命题出发点. 对于该类题型需要充分理解题干的信息，然后利用尺规准确作图，同时关注该过程的几何性质，并将其转化为后续的解题条件.

[关键词] 操作；尺规；几何；性质；提取；思想

以学生熟悉的四边形或三角形为背景，结合实践操作的几何综合题在近几年中考和结业考试中出现的频次很多，该题型起点低、操作性强，具有层次性和多样性，对于学生的动手操作和层次分析具有很好的考查作用，也是对“立足基础，注重发展”教学理念的充分贯彻，对于该类典型问题的学习需要学生从实践操作入手.

真题解析，试题点评

1. 真题呈现

（2017年山东滨州市中考第22题）如图1所示，在？荀ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；再分别以点B，F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF为菱形.

（1）根据以上描述用尺规作图，（保留作图痕迹），并求证四边形ABEF为菱形；

（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4，求∠C的大小.

2. 试题解析

分析 （1）问考查动手操作和几何证明，首先需要根据题干信息准确作图，并把握作图过程中所涉及的几何性质，求证四边形ABEF是菱形，首先需要考虑证明ABEF是平行四边形，然后设法补充条件BE=AF即可.

（2）求∠C的大小，可根据四边形ABCD为平行四边形，将其转化为求∠BAD，由于菱形的对角线平分一组对角，可先求出∠DAE的大小，进而求解∠C.

解答 （1）具体作图过程如图2，根据作图过程可知AB=AF，AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠EAF. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD. 根据两直线平行的性质可知∠AEB=∠EAF，所以∠BAE=∠AEB，AB=BE，BE=AF. 所以四边形ABEF是平行四边形，也为菱形.

（2）连接BF，如图3，因为四边形ABEF为菱形，∠BAE=∠EAF，所以OA=AE=2. 因为菱形ABEF的周长为16，所以AF=4，cos∠OAF=. 所以∠OAF=30°，∠BAF=60°. 所以∠C=∠BAD=60°.

3. 试题点评

本题目为涉及实践操作的几何题，主要考查学生基本作图能力和几何性质运用能力. 第一问需要根据题目所述信息进行绘图，需要注意的是：要把握所构图形中的等边、等角关系，这对于接下来的菱形证明极为重要，第二问则是在图形为菱形基础上开展的角度证明，依据相关几何性质即可求解. 所以涉及实践操作的几何综合题，需要在精准作图的基础上关注作图过程中的几何性质，例如等角、等边、平行、垂直等，然后结合性质进行推理论证.

试题衔接，思路剖析

涉及实践操作的几何综合题是对基本图形的深入挖掘，尺规作图的过程实际上也是对几何基本性质的探索过程，因此需要关注作图的过程，注意从繁杂的几何线条中捕捉基本图形，提取几何性质，将其作为后续解题的关键条件，从而实现问题的转化求解.

试题1 （2016年四川达州中考卷第20题）如图4所示，在？荀ABCD中，AD>AB.

（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明.

分析 （1）根据角平分线的作法即可轻易作出，在AD上截取AF=AB，连接EF，绘出图形即可；（2）根据平行四边形的性质和角平分线可得∠BAE=∠AEB，可证EB=AB，由（1）知AF=AB，可得BE=AF，从而可判断出四边形ABEF为菱形.

解答 （1）具体作图如图5所示.

（2）因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，∠DAE=∠AEB，AE平分∠BAD，∠BAE=∠DAE. 所以∠BAE=∠AEB. 所以EB=AB. 由（1）得AF=AB，所以BE=AF. 结合BE∥AF，所以四边形ABEF是平行四边形，因AF=AB，所以四边形ABEF是菱形.

试题2 （2017年北京东城区八年级期末卷）如图6所示，在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于点D.

（1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC.

①利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹；

②求证：∠BPC=∠BAC.

（2）略.

分析 （1）①补全图形，利用尺规作BC的垂直平分线，延长DA，与其相交于点P；②求证∠BPC=∠BAC，可将其放置在△ACG和△BPG中，只需证明∠PBG=∠PCA即可. 截取AE上AF=AC，可证△PAC≌△PAF，然后利用三角形全等性质，以及垂直平分线角的性质来构建∠PBG=∠PCA.

解答 （1）①具体作图痕迹如图7.

②在AE上截取AF=AC，连接PF，如图8，由AD平分∠CAE，可得∠CAD=∠FAD，进而可知∠CAP=∠FAP. 在△PAC和△PAF中，AP=AP，∠CAP=∠FAP，AF=AC， 可证△PAC≌△PAF（SAS），可得∠1=∠2，PF=PC，点P在BC的垂直平分线上，则PC=PB，所以PF=PB，可得∠1=∠3，所以∠2=∠3.在△ACG和△BPG中∠PGB=∠AGC，所以∠BPC=∠BAC.

上述题目均为几何实践操作的综合题，解题过程均从尺规作图开始，然后开展相关问题的探究，解题时都注意对作图过程的性质提取. 试题1关注作图过程中的角平分线，然后利用等角关系来探究图形形状；试题2则是把握垂直平分线上点的相关性质，然后结合该性质来转化条件证明等角. 上述过程准确作图是解题的前提，性质提取是解题的关键.

解后反思，教学思考

1. 关注尺规作图，积累几何性质

上述均为涉及实践操作的几何综合题，题设部分条件通过文字表述、作图指示的方式给出，对信息的精准理解、作图过程的重点关注是解题的基础. 因此在教学中要重视学生的作图训练，引导学生充分理解定理、命题的文字表述，结合实例让学生体验图形推理的论证过程，对于作图过程的几何性质提取有必要开展针对性训练，逐步帮助学生积累基本几何性质，培养学生从繁杂图形中提取信息的能力.

2. 自主探究问题，发展解题思维

知识的学习过程是活跃思维的过程，对于几何题求解的关键在于信息的提取，例如上述操作题需要关注题干的有效信息，关注作图过程的几何性质以及构建基本图形时的转化，只有不断地拓展解题思维，发现解题新的可能才能最终解决问题. 因此，教学中需要为学生提供一个有创造性、拓展性的学习平台，让学生自主发现问题，思考分析问题，从而找到解决问题的方法，深化理解几何知识的同时促进思维的发展.

3. 聚焦基本图形，学习转化思想

几何综合题的求解过程离不开对基本图形的性质利用，因此解题的关键是图形的构建过程以及条件的转化过程，构造转化是求解的必要途径，学习和使用构造思想和转化思想对于学生数学思想的提升极为有利. 在教学中有必要跟进学生的特殊三角形、平行四边形等基本图形的学习，引导学生深入探究四边形、平行四边形、特殊平行四边形的性质及判定条件，聚焦基本图形，通过典型例题的讲解初步培养学生的数学思想，为学生的长远发展奠定基础.

写在最后

涉及實践操作的几何综合题，需要充分理解题干信息，结合所学方法准确作图，同时关注作图过程中的几何性质，从繁杂的几何图形中提取关键信息，为接下来求解几何问题打下基础，对于涉及基本图形的相关证明要充分利用几何性质，转化问题简便求解. 在教学中要重视几何的尺规作图，引导学生学习和积累几何的基本性质；让学生体验问题的探究过程，促进学生解题思维的发展，关注基本图形，学习解题思想，使学生的综合能力得到发展.