渐开线齿轮齿顶厚理论计算分析

朱陈嘉，李 虎

（上海振华重工（集团）股份有限公司，上海 200125）

0 引言

一对渐开线齿轮啮合是由其齿顶和齿根共同参与完成，为了保证齿顶强度就要保证必要的齿顶厚，一般要求齿顶厚Sa≥0.25m，对于表面淬火的齿轮，则要求Sa＞0.4 m[1]，如图1所示。通常标准齿轮齿顶厚大多能满足这一要求，而变位齿轮由于其齿顶厚Sa随着正变位系数x的增大而减小，即齿顶变尖，齿顶厚度变薄。所以变位系数过大时，特别是当齿数较少时，会导致齿顶厚度不能满足要求，造成齿顶部分强度和刚性的削弱，尖锐处易刮伤齿面，影响齿轮的正常啮合，甚至在齿轮加工方面无法进行齿顶修缘。通过三维建模研究齿轮齿顶厚，将齿顶厚测量结果和理论计算结果进行分析，该分析计算可以为齿轮齿顶厚的设计和测量提供技术支持和指导作用。

图1 齿顶厚

1 齿顶厚的验算公式

其中：da为齿轮齿顶圆直径；a为齿轮分度圆压力角；aa为齿轮齿顶压力角；aa为 arccos（db/da）.

通过公式可以看出：对于直齿轮齿顶厚计算可以直接将齿轮参数带入公式计算得到，而由于斜齿轮存在法面参数和端面参数，所以在利用该公式计算斜齿轮齿顶厚时需注意带入的参数是否合理。

2 渐开线齿轮三维造型

2.1 渐开线方程

在对齿轮进行三维造型时，必须保证造型出的实体齿形是一条接近真实渐开线齿廓的曲线。根据渐开线的生成原理，可推导出渐开线方程（2）如下[2]：

其中：rb为齿轮的基园半径；φ为渐开线发生线与基圆的切点至原点的连线与渐开线的起点与原点连线的夹角，如图2所示∠AOB.

图2 渐开线形成

2.2 标准渐开线齿轮三维造型

2.2.1 编写齿轮参数计算表

根据渐开线齿轮的计算公式编写齿轮设计参数表，并按照渐开线方程（2）在excel中计算出齿形渐开线节点位置坐标。

2.2.2 Inventor草图

如图3所示：在Inventor草图环境中通过“导入点”生成渐开线坐标点，以样条曲线连接，然后以坐标原点为中心分别作出齿轮的基圆、分度圆及齿顶园（基圆、分度圆及齿顶圆大小均在齿轮设计参数表中计算得出）。

图3 齿形渐开线

图4 齿形草图

齿轮的齿形是由两条对称的渐开线组成，根据这一特点以渐开线与齿轮分度圆交点为端点作分度圆的一条弦，如图4所示，定义弦长（弦长由公式（3）计算所得），连接弦的中点和坐标原点即为齿形的对称中心线，通过“镜像”即可得到另一侧渐开线齿形。

分度圆弦齿厚公式：

2.2.3 Inventor三维造型

齿形草图完成后通过“拉伸”和“环形阵列”即可生成直齿轮模型。如图5所示。

图5 三维标准直齿齿轮

2.3 渐开线变位直齿轮三维造型

根据机械设计手册中齿轮基圆的计算公式可知基圆大小取决于模数、齿数和压力角的大小。而齿轮渐开线的形状取决于基圆的大小，可知直齿轮变位后，由于基圆不变，其齿形与标准齿轮同属一条渐开线。根据变位的原理，齿轮的分度圆不变，齿顶圆发生变化，即变位齿轮相对于标准齿轮仅渐开线应用的区段发生变化，正变位齿轮应用曲率半径较大的一段渐开线，而负变位齿轮应用曲率半径较小的一段渐开线[3]。

综上所述直齿变位齿轮的三维造型可按对应标准齿轮参数生成渐开线，借助变位后的分度圆弦齿厚作出齿形对称中心线，再用变位后的齿顶圆截取渐开线得到的齿形即为变位后的齿形。然后通过拉伸和阵列即可得到变位齿轮的三维模型。

2.4 斜齿轮三维造型

斜齿轮与直齿轮相比存在着螺旋角β，因而斜齿轮具有端面参数与法面参数。在斜齿轮几何尺寸计算过程中通常按照端面参数计算，端面参数可通过法面参数与螺旋角β之间的关系换算得出。

斜齿轮的端面齿形是以端面参数为准的渐开线[4]。故斜齿轮端面齿形草图可以以端面参数为准按照标准直齿齿形作图，根据2.3渐开线变位直齿轮三维造型分析，变位斜齿轮的端面齿形草图同样可按照标准齿形草图作图。斜齿轮具有螺旋角β，在Inventor中端面齿形完成后需要通过“螺旋扫略”功能造出齿形。如图6所示：螺旋线轴线过齿轮端面圆心且垂直于齿轮端面，螺旋线起点为分度圆与两条齿形渐开线对称中心线的交点。最后通过“环形阵列”即可生成斜齿轮模型。

图6 斜齿轮螺旋线

3 公法线校对

为了验证上述的齿轮造型方法是否准确，可用渐开线齿轮的公法线长度进行校对。渐开线齿轮的公法线长度是指与两个异侧齿面相切的两平行平面间的距离Wn，可根据机械设计手册中公式计算可得：

图7为m=5，z=36的标准齿轮，根据公法线的定义作图测量出公法线长度Wn=68.944 mm，与计算表中的计算值相等。图 8为m=5，z=36，x=0.55的变位齿轮，根据公法线的定义作图测量出公法线长度Wn=70.825 mm，与计算表中的计算值相等，故可说明上述2.2标准渐开线齿轮和2.3渐开线直齿变位齿轮的造型方法是可行的。

图7 标准齿轮公法线

图8 变位齿轮公法线

4 三维造型齿顶厚测量与公式计算值对比

按照前述的渐开线齿轮造型方法，建出不同参数的齿轮实体，利用Inventor自带的测量工具在三维实体上量出齿形厚度值与通过渐开线齿轮齿顶厚计算公式（1）得到的计算值进行比较。

表1~表4中的“实体测量”值为三维实体造型测量出的齿顶厚，“公式计算”值为通过公式（1）所得到的齿顶厚，“差值”即为两者的差的绝对值。

表 1 标准齿轮：（ha＊=1，c＊=0.35）

表 2 直齿变位齿轮：（ha＊=1，c＊=0.35，α=20°）

由表1和表2可看出，通过三维实体测量和公式计算出的齿顶厚结果是一致的。故在今后的设计计算中直齿轮的齿顶厚可直接通过公式计算得出。

根据齿顶厚计算公式可以看出，对于无变位的齿轮齿顶厚计算公式等同于：

利用公式（4）计算斜齿轮齿顶厚时，公式中的参数均为斜齿轮端面参数。从表3可以看出，通过三维实体测量和公式计算出的齿顶厚结果是一致的。

表 3 斜齿无变位齿轮：（ha＊=1，c＊=0.35，β=15°）

在利用公式（1）计算斜齿变位齿轮中，存在两种计算方法：一是在计算时公式中分度圆压力角α带入端面参数计算；二是在计算时带入法面值计算。然后将两组计算值与实体测量值比较，通过表4可以看出：实体测量值更接近以端面参数计算的值，以法面参数的计算值与实际测量值比较偏差值明显较大。偏差值百分比如图9所示，以端面参数代入计算时平均偏差为1.2%，以法面参数代入计算时平均偏差为6.6%.

表 4 斜齿变位齿轮：（ha＊=1，c＊=0.35，α=20°，β=15°）

图9 偏差百分比曲线图

5 结论

本文分析了齿轮齿形渐开线成形原理，求得齿形渐开线的平面坐标方程，利用Inventor软件对标准齿轮、直齿变为齿轮、斜齿无变位齿轮和斜齿变位齿轮进行三维建模。通过对模型的测量与计算分析可以看出，在运用齿轮齿顶厚公式计算时，选择端面参数计算比选择法面参数计算更接近三维模型的测量值。以上结果为运用公式计算齿顶厚时提供了理论依据。

[1]齿轮手册编委会.齿轮手册（上册）[M].北京：机械工业出版社，1990（02）：02-15.

[2]邱荣茂，王大鸣，崔振勇.渐开线斜齿圆柱齿轮的三维造型[J].现代制造工程，2007（7）：37-38.

[3]包家汉，张玉华，薛家国.基于ANSYS的渐开线斜齿轮副参数化建模[J].机械传动，2006（1）：54-56

[4]徐雪松，毕凤荣，西洪杰.基于UG的渐开线斜齿轮参数化建模研究[J].机械设计与制造，2003（6）：47-48.