有限与无限思想在数学教材中的体现

摘要：有限与无限思想是数学中的重要思想，在新课标高中数学教材中有許多地方都体现着这一思想，本文就有限与无限思想在教材中的体现进行总结，并对这一思想给出相应的高考题举例。

关键词：有限；无限；极限；二分法

数学中有限与无限的联系是非常紧密的，无限是有限的基础；无限是由有限构成的；无限是有限的延伸。在新课标高中数学教材中有许多地方都体现着这一思想。

一、集合中的有限集与无限集

集合中的有限集与无限集是有限与无限思想的直接体现。在高考中有相应的命题。

例1. （2010湖北.文1）设集合 ={1，2，4，8}， ={ ︱ 是2的倍数}，则 =（ C ）

A.{2，4}B.{1，2，4}C.{2，4，8}D.{1，2，4，8}

评注：已知集合 是有限集，集合 是无限集，所求集合 是有限集。

二、数列中有穷数列与无穷数列

数列中有穷数列与无穷数列也明显地反映出有限与无限思想。

三、极限理论中深刻体现着有限与无限思想。

数列的极限是指当项数 趋近于 时，数列的项趋近于一个确定的数值，即极限。可见，数列的极限本质上是数列的项从有限到无限的一种飞跃，它深刻地反映着有限与无限思想，所以极限理论是整个微积分的基础。

四、导数概念的引入

平均变化率是有限分割得到的概念，易于大家理解；瞬时变化率是平均变化率在分割很细（无限分割）时，变化率从平均值逼近瞬时值。这本身是个极限的过程，也是一个有限到无限的飞跃。

例2.（2018全国Ⅰ卷.理科.5）设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为（ D ）

A. B.

C. D.

评注：近几年高考对导数的考查不仅仅局限在选择题和填空题上，也经常出现在解答题中。

五、定积分概念的引入

新教材从曲边梯形面积的求法展开讨论，通过分割、近似代替、求和、取极限的过程，来对定积分下定义。对曲边梯形的分割是有限的，而取极限的过程是从有限向无限的飞跃，这个过程深刻地体现着有限与无限的转化过程。

六、“割圆术”中圆周率的求法。

“割圆术” 是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法，这显然是极限的思想，是有限与无限的转化。

七、二分法求函数的零点。

用二分法求函数的零点，需要用到函数零点存在定理。二分法的求解过程在数值计算中深刻反映了有限与无限的思想。

例3.（2011上海.理科.14）已知点 、 和点 ，记 的中点为 ，取 和 中的一条，记其端点为 、 ，使之满足 ，记 的中点为 ，取 和 中的一条，记其端点为 、 ，使之满足 依次下去，得到 则 =___

评注：新课标教材上二分法是用来求函数的零点，这一题考查了学生的基本功和应变能力，它把二分法用到几何上。

八、概率论中古典概型与几何概型

古典概型成立的条件是：①等可能性；②有限性。

几何概型成立的条件是：①等可能性；②无限性。

总之，有限与无限思想在新课标高中数学中得到了深刻的体现，高考这几年对有限与无限思想考查力度不断加大，应给予高度的重视。

参考文献：

[1]}普通高中课程标准实验教科书数学必修（A版）[M]. 北京：人民教育出版社. 2007.

【作者简介：吴旭亭（ 1979.3—）男，籍贯：云南墨江，职称：中学一级教师，学历：硕士，研究方向：运筹学与控制论。】