恰当引人反思内容提高解题教学效益

洪燕刚

摘 要 反思活动对数学教学的重要性越来越受到人们的重视。笔者以反思活动对解题教学的积极作用为切入点，对解题教学中如何引入反思活动能更有效地提高学生解决问题的能力，提高解题教学效益进行了一段时间的实验研究，结果在诸多反思内容中，以时效性和可操作性来衡量。

关键词 反思 数学教学 提高效益

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

1反思两变，一题多得

学习某个数学问题的解答或自己完成某个数学问题的解答后，便能举一反三，触类旁通，会解答由该题目作适当变化而得的多个题目，是师生解题教学所共同期望的。这就需要把“反思两变”（即题目已知条件的改变和题目结论的相应变化或反之）作为解题教学活动反思的必要内容，使解题教学“一题多得”的愿望得以实现。

然而，令人遗憾的是，每每在考试阅卷结束后，常有教师报怨自已所教的学生“脑子笨”、“学得死”，“考卷上的题目类型大部分在复习阶段都做过、讲过，而考题仅只稍作变化，学生便束手无策了。”……这样把责任全推给学生，自然是不公平的。因为我们做教师的在平时的解题教学活动中缺乏对学生进行“两变反思”的引导和培养，是导致这种结果的主要原因之一。教师的解题教学“就题论题”，督促、调动学生思维参与的力度不够，教学欠缺吸引力，造成主动积极思考的学生数量有限（仅自制力较强的少数学生）。学生的解题活动又“解不思变”，使学生对题目的本质认识不清，题目的内在联系思考不足，这样做过、讲过的题目对学生来说只是记忆的“保留”，难以达到训练思维，融会贯通的理想教学效果。尤其是数学水平处于中、下层次的学生更是如此。他们在考试时能完成做过、讲过的“原模原样”的题目就算不错了。因为一旦出现遗忘，做过、讲过的题目他们也奈何不得。对他们做过、讲过的题目变化，引申而得的题目，在他们看来已成“素未蒙面”的“新题”，更只有“望题兴叹”的份了。

因此，教师在平时的解题教学活动中，加强对学生进行“反思两变”的引导和培养，避免学生做过，教师讲过的题目随解答的完毕而变成“死题”，让这些题目由变而活，让学生看清它们的内在的本质的联系。学生在任何时候遇到这些问题及由它们变化、引申而得的题目时，才会看清本质，临阵不乱，游刃有余地解答。

例1（如图1）：△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

这是九年制义务教育教材初中几何第二册P245例4。本例集正方形性质、三角形的高、相似三角形的判定和性质以及一元一次方程的解法等诸多基础知识和基本方法的考察于一身，不失为检查学生这部分教学内容学习水平的一道好题。现以这个题目为基础作变化：

1.1以理解、巩固例题解题方法为目标，变为模仿性习题

（1）如图2，已知在Rt△ABC内有一正方形DFFG，D在AB边上，G在AC边上，EF在斜边BC上，已知AB=6，AC=8，求正方形DEFG的边长。

（2）如图3，已知DEHG是△ABC的内接矩形，DE在BC上，G、F分别在AB、AC上，AH为BC边上的高，BC=48cm，AH=16cm，EF：DE=5：9，求矩形DHRG的周长。

（3）如图4，矩形EFGH内接于△ABC，BC=9cm，AD=8cm，EF=5cm，求矩形EHGH的面积。

1.2在理解、掌握例题解题方法的基础上，以运用例题的解题方法为目标，变为提高题

（1）如图5，已知矩形EHGH内接于△ABC，BD⊥AC，设AC=b，BD=h，GF=x，四边形EFGH的面积为y

①试用x表示y，并求出x的取值范围。②若HE：EF=1：2，AC=18，BD=9，求矩形DEFG的面积。

（2）如图6，已知△ABC中，∠A=90埃諨EFG为其内接正方形。求证：DE2=BDCE。

1.3结合新课程标准对学生数学能力的要求，变为应用问题和开放性问题

（1）在生产中，为了节约原材料，加工某些零件时，常利用些边角废料，如图7所示，△ABC为锐角三角形废料板，其中BC=12cm，BC边上的高AD=8cm，在△ABC上截取矩形PQMN，使QM边与BC边重合，画草图说明P、N两点落在什么位置上，才可能使它的面积最大？求出它的最大值，并求此时矩形的长和宽。

（2）有一批形状大小相同的不锈钢片呈直角三角形（如图8所示）。已知∠C=90埃珹B=5cm， BC= 3cm。试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。

可由该例题作变化的题目还很多。这些变化而得的题目，既有助于学生弄清问题的本质，又可以带动很多知识的复习，一题多得，发展学生的数学能力，何乐而不为。

2反思类题，形成模式

“我所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用于解决其他问题。”著名数学家笛卡尔的这句话，一语道出了数学解题模式的形成及应用对于数学解题的重要意义。“事實上，学生面临的大多数数学问题是通过模式识别来解决的，即将陌生的数学问题，逐步实施转化，最终变为他所知的解题模式，然后再按模式解决。

应用模式先得掌握模式。学生掌握解题模式的多寡取决于师生是否善于在解题教学活动中通过类题的反思形成尽可能多的解题模式。因此，教师的解题教学不应当得出结果而了百了。而应把所解答的题目与其他类似的题目进行对比，启发学生观察、分析这些题目数式结构、图形结构、条件结构、求解（证）结构、解（证）法等诸方面的个性差异和共性特征，重点是解（证）法的共性特征，结合教学和考试要求、教材和学生实际归纳概括成解题模式。逐步培养学生“反思类题，形成模式”的良好反思习惯，消除他们对概括归纳解题模式的神秘感，能自主、自觉、成功地自己概括归纳出自己所能掌握并运用于解题实践的解题模式，这对学生数学学习水平的提高无益是十分有益的。

例2：已知，试将根号外的因式移入根号内。

解：由二次根式的定义，要使有意义，必须，即a-3<0

于是要将a-3移入根号内，就有

本题解答完毕，可以引导学生对以下类似问题的解答进行反思：

（1）若a<0，下列式子正确的是（C）

（2）将根号外的式子移到根号内，原式应等于：（C）

A、 B、 C、或 D、

（3）把根号外的因数移到根号内得 。

（4）把根号外的因式移到根号内，得 。

通过对以上题目的解答进行比较分析，不难发现此类间题的解答可概括成解题模式：

（1）确定移入因式的符号（正或负）。

（2）若移入因式为正，则结果根号前符号不变，被开方数等于移入因式的平方与原被开方数的积；若移入因式为负，则结果根号前符号改变，被开方数等于移入因式的平方与原被开方数的积。即

需要说明的是，不是每一个题目都可以概括为解题模式。但不能由此而弱化“反思类题，形成模式”的积极性和主动性，更不能把这一反思内容束之高阁、置之不理。

3反思解题过程的书面表达，形成严谨、规范的解题风格

“数学中绝不允许有半点马虎和轻率行为，……。数学学习中养成缜密、有条理思维方式，有助于培养学生一丝不苟的工作态度、敬业精神和强烈的社会责任感。”学生解题过程的书面表达是较易看出一个学生数学学习水平和数学学习态度的。

教学第一线的数学教师大都会遇到这样的问题：学生对个题目的解答结果是正确的，但解题过程要么得出结果的理由不充分，如a2=b2，且a、b同号时，a=b。而学生常常仅由a2=b2就得出a=b的结论；要么不具备条件乱用公式、定理，如；要么数学语言的使用不规范，如“”根号上下长度没写够而写成“”；“”中根号左右长度没写够而写成“”；“ABCD”中平行四边形符号“”太不规范，写成“ 、 ”；等等。这与学生平时对“解题过程的书面表达”不够重视有直接原因，也与教师解题教学中对“解题过程的书面表达”缺乏有效，正确的引导不无关系。

我们把“解题过程的书面表达”作为解题教学反思的内容之一，正是要通过弓引起学生对“解题过程的书面表达”的重视，使他们在解题时做到注重正确应用所学知识，注重准确使用数学语言，注重解题过程的逻辑严密性和简洁性。避免概念错误、计算错误、画图错误、论证错误、勿视隐含条件错误等解题锴误的产生，并克服解题过程重复累赘、“拖泥带水”、逻辑混乱等不良现象，使解题过程严密、简洁、正确，形成严谨、规范的解题风格。这不仅是数学解题的需要，也是数学学習、研究和发现、创新的需要。

总之，反思活动对解题教学的积极作用是不容质疑的。只要教师结合题目实际和教学目标要求恰当选择引入反思内容，定能对解题教学效益的提高大有帮助。

参考文献

[1] 张一民.中学数学教法研究[M].昆明：云南教育出版社，1997.

[2] 曹一鸣.数学教学模式导论[M].北京：中国文联出版社，2002.