借助数形结合 优化概念教学——以“倍数与因数”的教学为例

江苏苏州工业园区星澄学校（215000） 吴 铮

对于数形结合的定义，数学家华罗庚给出过十分精辟的答案，他指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”利用“形”可以直观地表现“数”，而通过“数”可以深刻地反映“形”。数学概念具有一定的抽象性，小学生的思维以形象思维为主，因此在小学数学概念教学中，可借助数形结合优化概念教学，从而使概念教学收到事半功倍的效果。下面，我结合“倍数与因数”一课的教学来谈一谈利用数形结合进行概念教学的几点做法。

一、借助数形结合，引入数学概念

在概念教学中，概念的引入是第一环节。在这个环节中，借助数形结合能够让学生直观感知数学概念的产生过程，从而调动他们学习数学概念的积极性。

例如，在教学“倍数与因数”一课时，我是这样引入概念的。

师（课件展示图1和图2）：学校开运动会，有两个班的同学在排队时排出了这两种队形，这两个班各有多少人？

图1

图2

生1：图 1这个班有 9×4=36（人）；图 2这个班有 5×7=35（人）。

师：在算式“9×4=36”里，我们把9和4都称作乘数，36叫作积。9对应队伍每一行的人数，4对应队伍的行数，36对应总的人数。

师：大家看看今天我们要学习的课题——“倍数与因数”，猜猜看，在算式“9×4=36”里，谁是谁的因数，谁又是谁的倍数。

生2：4、9都是36的因数，36是4的倍数，也是9的倍数。

师：“5×7=35”这个算式里，谁是谁的因数，谁又是谁的倍数？

生3：7和5是35的因数；35是7的倍数，同时也是5的倍数。

上述教学从排队问题入手，通过用乘法计算每个班的总人数，然后再让学生思考谁是谁的因数，谁又是谁的倍数。这样，强化了新旧知识间的联系，为学生学习“倍数”中的数都是非零自然数做好了铺垫。

二、借助数形结合，抽象数学概念

在数学概念教学中，引导学生经历数学概念的抽象过程十分重要，只有这样，才能强化学生对数学概念的深入理解。借助数形结合能够有效地让学生经历数学概念的抽象化过程，从而收到事半功倍的教学效果。

例如，在“倍数与因数”一课的教学中，在引入数学概念之后，我是这样引导学生进行概念抽象的。

师：现在请大家根据前面计算班级人数的方法，先写几个乘法算式，然后再在图3中进行圈画，并和同桌交流“谁是谁的因数，谁又是谁的倍数”。（交流之后选代表展示作品）

师：同样类型的例子多不多呢？你们可以列出一个通用的算式来表示所有的例子吗？

生1：可以用字母来代替数字进行表示。

师：这个办法不错！那如果要用a、b、c这三个字母来表示因数和倍数的话，那对应的式子应该怎么列呢？

生2：a×b=c（a、b、c 均为大于 1 的自然数），其中 a、b两个数都是c的因数，c既是a的倍数，也是b的倍数。……

上述教学中设计了“圈画、列式、交流”的环节，其目的是为了让学生结合现实生活深入理解倍数和因数。这样的教学，能加深学生对“行数为1”这特殊情况的理解。

图3

三、借助数形结合，内化数学概念

借助数形结合能够有效地促进学生对数学概念的内化。教学中，当学生对数学概念有了一定的感知和理解以后，教师要引导学生在数形结合的过程中内化数学概念。

师：以前我们学习“倍”时用了除法算式c÷a=b（ab≠0）来表示，这个式子里的 a、b、c 只要不是零，整数、小数、分数都是可以的。而我们今天学的“倍数”这个概念的表示用的是乘法a×b=c，那么这个式子中的a、b、c又能取哪些数呢？

生1：不管什么数都可以。

生2：这三个数只能取非零自然数。

师：能告诉我们理由吗？

生2：我们刚刚在点子图里通过确定行数、每行数量和总数来理解倍数和因数，这三个数都是非零自然数。（对这个理由大家都表示认同）

师：那你们能说说“倍数”和“倍”的异同吗？

……

（学生讨论之后得出：两者相同之处在于它们都是对两个数之间的倍比关系进行研究的；而不同之处则是“倍数”涉及的数必须是非零自然数，“倍”涉及的数只要不是零，整数、小数、分数都可以）

只通过范例来让学生理解“倍数”的含义远远不够，要和相似的概念“倍”进行比较才能让学生完全理解清楚。在对比中，引导学生认识两者的共同点——都是对两个数的倍比关系进行表示，表示方法都能用乘法或除法算式，明辨数的取值范围——“倍数”涉及的数只能是非零的自然数，而“倍”涉及的数除了零以外，任何整数、小数、分数都行。教师层层深入的追问，让学生把在点子图中积累的经验转化成数学规定，也就是通过对直观现象的理解明白了“倍数不能取0”的规定。

四、借助数形结合，构建概念模型

引导学生构建数学概念模型是概念教学的重要目标之一。教学中，借助数形结合能够有效地促进学生对数学概念模型的构建，从而实现数学概念学习的高效化。

师：我们用点子图对倍数和因数进行了理解，同样也可以通过点子图来确定一个数的倍数。请想一想怎样能从点子图里找到一个数的倍数呢？应该先做什么，再做什么呢？

生1：先把一行的数量定下来，然后再找出行数与每行数量的乘积。

师：请大家用这个方法来试一试，并在图上圈一圈，同时在右边写下对应的7的倍数。

（学生认真地进行了操作，然后和同学进行交流。学生边说自己的成果，教师展示课件）

师：你们完成了圈一圈、找一找的活动，觉得用什么方法可以找出非零自然数a的倍数呢？

生2：a×1，a×2，a×3……

生3：也就是要找出a的1倍、2倍、3倍……

师：我们知道自然数有无穷多个，0是最小的自然数，没有最大的自然数，两个相邻自然数的差为1。那么大家能得出倍数具有的特点吗？

师：一个数的倍数的个数也是无穷的，其中它自己是它最小的倍数，最大的倍数是不存在的，两个相邻倍数的差等于这个数本身。

上述教学片段中，设置了“用点子图找出7的倍数”这个实践活动，一方面是让学生经历找一个数的倍数的过程，加深学生对确定倍数方法的印象；另一方面，有利于学生理解倍数的特征。

总之，在小学数学概念教学中，借助数形结合能够让学生的概念学习更高效，能够有效地促进学生对数学概念的深入理解与自主建构，并且，能够有效提升学生的思维能力和综合素养。