大道至简——记“11～20各数的认识”的三次磨课经历

江苏南京师范大学附属小学（210008） 王 倩

老子云：“大道至简。”这告诉人们最有价值的道理其实是非常朴实的。现代主义精神也在不断重申“少即是多”，呼唤人们在纷繁中学会选择。数学是最体现简洁美的学科，而现代教育心理学也在不断倡导“少即多”的这一理念，提倡用最少的学习材料，更彻底地学习，以便学得更完全，理解得也更好。因此，数学课堂应该将简洁作为最高追求，在简中求真，在简中启智。

机缘巧合，去年下半年开始，我一直在研究一年级的“11～20各数的认识”的教学，经历了数十遍次尝试，最终在不同的场合呈现了三个完全不同的教学尝试，经历了从简到繁，最终归复于简的艰辛过程，也让我对追求简洁的数学课堂有了更深刻的认识。

简单乏味，铩羽而归——初尝滋味

第一次尝试教学“11～20各数的认识”是在区级教研活动上，我细读了教材和教参，认识到，作为数与代数领域的重要内容，“11～20各数的认识”这一课在苏教版教材中一直没有发生太大的变化：首先，借助小棒认识“一”和“十”这两个计数单位以及它们之间的联系，然后借助摆12让学生理解“十几就是1个十和几个一合成的数”，并把认识12的方法与体验向其他数展开，最后理解20。这里的“直观认识”非常重要，根本的落脚点是让学生理解十进制计数法的构造原理并形成相应的读数、写数规则，建立数的概念。于是我力图扣住数学本质，从“十”出发，挖掘计数单位产生的需要。

根据自己对教材的理解，我设计了三大板块。

【板块一】复习引入，在探索与交流中再认识“十”

课始，通过提问“在我们已经学过的数中，你觉得谁最特别？”，引导学生关注、感受10的神奇和特殊。在实际的交流中，学生感慨道：“0和1这么小，在一起竟然能超过9，真是神奇！”于是我将学生认识的焦点引向了“十进制”。紧接着，借助“小棒是咱们计数的好帮手。你能用盒子里的小棒表示10吗？”的小活动，调出学生在“认识十”中把10根小棒捆成1捆的经验。大部分学生能直接拿出“一捆”，也还有学生拿出“十根”，学生在交流中感受到“十”和“一”的关系，初步完成了对计数单位的认识。

【板块二】合作探究，在操作与观察中认识“十几”

首先，我随意抓出一把小棒，请学生估一估有多少根，初步培养学生的估算意识，也自然引出了问题“怎么摆才能一眼看清楚有多少根呢？”。通过呈现不同的摆法，让学生在直观对比中感受摆成“一捆和两根”最清楚，初步体会“十进制”产生的必要性。紧接着，让学生小组合作，每人任选一个“十几”摆出来，并和小组的其他成员说说是怎么摆的，在合作中丰富彼此对十几的认识。随后，我在黑板上汇总所有“十几”的小棒图和数字，引导学生横向和纵向观察，从而明确十几的概念，实现深度理解。最后，我介绍“十进制”产生的历史，引导学生感受“十进制”的合理性。在这过程中，学生感受到“满十根就往前面写一个1，2个十根就往前面写一个2，只用0～9就能表示好多数！”

【板块三】自主拓展，在游戏的碰撞中感受“数序”

我设计了一个“我说，你猜”的游戏，先给学生提供一些线索，如“这里最接近10的数是什么？它的家应该在哪里呢？”“这个数在14和16中间，你能猜到吗？请你把它送回家。”随后让学生自己尝试当“小老师”，编制线索，并将数移动到数轴上相应的位置，感受数的顺序，并在老师的启发下，发现0～20这些数的前面、后面以及中间都还藏着一些数，从而初步了解数的体系。

思悟——获与惑

初次尝试，我的感触主要来自于引导学生动手操作方面。一年级学生以具体形象思维为主，思维活动离不开实践操作的支撑，学生需要在“摆小棒”这一过程中，逐步形成表象，从而将思维内化。同时，学生“摆小棒”的过程中生成了大量宝贵的过程性资源，教师需要引导学生梳理和比较。为了更直接、直观地呈现学生摆的真实情况，我在试教中不断尝试、改进，最终采用了黏度较高的海绵胶和短皮筋，使得学生能非常便捷地在黑板上呈现12的若干种摆法，直观感悟“一捆”的优越性，并能快速生成所有“十几”的摆法。

然而，我力图在黑板上呈现所有思考过程，让学习看得见，却忽视了操作的根本目的是为了提升思想。摆出所有的“十几”，看似学生经历了丰富多彩的动手实践，实则是在同一层次上简单重复。再读教材，在通过12初步认识了十几之后，教材只引导学生摆了11、13和19，学生通过举一反三，足以把握十几的特征，而11还提醒了学生同一个数在不同的数位上意义不同，又由19引出了20。学生通过对“点”的深刻理解，实现了对“线”的整体认识。

学生的智慧来源于指尖，借由操作活动，学生可以更好地经历数学的发生和发展过程，但仅仅停留在指尖却远远不够，教师更应该进一步引导学生将动手操作转化为头脑中的表象，让学生在反思和提升中积累数学学习的经验。

这次尝试带给我更多的是一种困惑和无力感：在课堂上，总感觉学生提不起兴趣，各种意外频频发生，可谓“按下葫芦起了瓢”。课后询问学生后才逐渐明朗，原来是教师的教走在了学生学的后面：即便是数学基础较弱的学生，早在幼儿园时就能数出11～20了，正着数、倒着数、读写都毫无障碍，在生活中也积累了不少经验。而课堂上再从零开始学一遍，学生自然味同嚼蜡，不免有“浅”和“薄”之感。

此外，可看似学生都会了，对于“12根小棒怎么摆才能一眼看清楚？”却总出现问题。摆出“三个四”倒还好，可总有少数学生摆成“火柴数”甚至摆成汉字（如下图）。深究其因，是学生对于小棒作为计数工具这种特殊的数学工具的不理解。小棒作为一个重要的计数工具，在一年级教材中正式出现仅有一次，是在教学“10的认识”时仅要求学生将10根小棒捆成1捆，并未揭示计数单位，因此，学生并不熟悉作为“计数工具”的小棒。

繁花似锦，心有余念——再次出发

第一次尝试铩羽而归，但让我厘清了教材、理解了学生。半个月后一次市级教研课的机会，让我再读理论，从中认识到，理解数的意义，要建立正确的数的概念，第一学段重点要在现实情境中读数、认数，运用数描述现实生活中的简单现象，感受数值大小，体会数的量化功能，认识11～20以内的数。为何不从生活情境进行引入呢？于是，我更关注学生的生活经验，引导学生在广泛的交流中感受数的意义和价值，以计数单位为生长点，实践深化数系系统的理解。

【片段一】从生活入手，初识十几

师：课前王老师请大家收集了一些生活中的数，请大家都来说一说。

生1：这是我画的红绿灯，红灯还有70秒才能变成黄灯。

生2：我要说的是14。这个是CCTV-14频道，是少儿频道。

生3：我家的门牌号是A12。

师：你们说的14和12都是号码。

生4：我拍了一个交通标识，这个标识限速是15。

生5：这个银行上面画了24，表示24小时营业。

生6：我买了一本书是13.80元。

生7：这个不读13.80，应该读13块8毛。

师：是的，这个数表示书的价格是13元8角。

生8：我拍了面包的价格牌，面包18元，重量是54克。

（在学生说的过程中，教师将14、12、15、18这几个数随意贴在黑板上，其他的数则写在黑板右侧）

师：看来数在生活中可谓无处不在。我选了几个数贴在了黑板上，你们会读吗？试着自己读一读。

师：这些数有什么共同之处？

生9：前面都是 1。

生10：我来补充，这些数都比20小，比10大。

生11：这些数都是十几。

生12：都由两个数字组成。

生13：都是十位数。

生14：不对，应该叫两位数。

师：是的，由两个数字组成的数叫作两位数。这些都是十几，还有哪些十几呢？谁能从大到小或者从小到大整理这些数？

思考：尊重生活经验，在广泛交流中建立数的概念

数是抽象的，学生理解和掌握数的概念需要经历一个过程，从学生熟悉的情境和实例入手，能促进学生主动建构数学知识，更好地理解数的意义，从而培养数感。学生在课前收集了生活中大量的数，并且对于这些数的实际意义有自己的理解。教师抓住“十几的共同之处”，引导学生在观察、交流中完成对11～20各数的初步认识。不同学生带来了不同生活经验，在交流和碰撞中丰富了数的内涵，同时生活经验的合理引导和运用也有利于推动学生对知识的自主理解，从而使学生的数学学习走向深处，尊重了学生的已有，释放了学生的已有，也充分利用了学生的已有。

【片段二】操作促思悟，再认十几

师：看来大家对这些数一点也不陌生，可是这些数到底是什么意思？又为什么这样写呢？今天，我们就借助小棒这样一个常见又神奇的计数工具深入了解它们。

师：对于小棒，咱们并不陌生。瞧，这是1根小棒，代表了1个一。2根，代表2个一，2个一就是2了。（出示4根）现在呢？几个一？4个一就是4了。数量一多，就不太能一眼看清楚了，所以，一旦满十根，这些小棒就嗖的一声聚成1捆了。这一捆，咱们就把它叫作1个十。

生（齐）：10个一就是1个十。

……

师：想一想，咱们用小棒怎么摆这个13才能看得清楚又明白呢？

……

师：太棒了，咱们一起再来摆一个11，看看谁摆得又快又好。

……

师：11里面的两个1在不同的位置上，表示的意思也不同。

师：已经摆了几次，下面咱们不摆了，在头脑中想象行吗？你怎么摆19？

……

师：你能从11数到19吗？

……

师：什么样的数就是十几呢？谁来说说。

生1：有一捆，还有一些零散的小棒。

生2：这些零散的小棒还不能满十根。

生3：一个十和几个一合起来就是十几。

师：19根再添上1根是多少？

生4：是20，太容易了，直接摆两捆就行。

师：9个一添上1个一又满了1个十，又可以捆成一捆，2捆就是2个十，就是20。正是因为满了10根就一捆，往前面的位置上写了一个1，有了这种办法，只用0～9就可以表示很多很多的数了。

师：那3捆呢？5捆呢？

生5：是 30 和 50。

师：刚刚同学介绍的70又怎样摆呢？

生6：摆 7 捆。

师：24呢？

生7：可以先摆2捆，再摆4根。

师：太厉害了！54呢？

生8：再添上3捆就行了。

思考：经历动手操作，在深度反思中理解计数法

相对于数的概念，“十进制”这一计数法更为抽象，这里，理解计数单位之间的关系，体会位值原理是掌握十进制计数法的关键。在这一个过程中，教师先让学生对小棒这样一个重要的计数工具形成一定的概念，帮助学生建立起“一”这样一个计数单位，并在不断地摆中强化学生对“一”的认识，让学生在“捆十”、比较“10个一”和“1个十”中自然生发出对“十”的认识。在“摆十几”中，我抛弃了原有摆出所有十几的设计，从“摆”到“想”，实现了学生从动手操作向思维操作的过渡，学生在反思和交流中理解了计数法。这样扎实的动手实践和反思，能让学生对计数单位的理解走向深刻，从而推动学生将学习经验迁移到更大数的认识上。

【片段三】感受数序，实现数的结构化

师：只要用上这里的小捆和单根的小棒，我们就可以表示很多数。这是我们已经学过的0～10，今天咱们学的数应该接在哪里呢？

生1：接在10的后面。

师：是的，这样排起来便于我们解决很多问题。下面我们借助数轴来玩一个小游戏吧。我来说，你来猜。这个数在14和16中间，它是几？

生（齐）：15。

师：和10相邻的数是？

生2：9 和 11。

师：谁来提供一个线索给其他同学猜一猜？

师：12是距离10近一些，还是距离20近一些？

生3：很明显，应该是12离10近一些，它离10只差两个数，而离20差八个数。

师：那你知道13.8在哪里吗？

生3：在13和14之间。

师：离谁更近？

生3：14。

师：是的，其实看似靠得很近的两个数中间还藏着很多数呢，1前面还有数吗？

生4：0。

师：0前面呢？

生4：-1，-2。

师：是的，这些数的前面、后面、中间都还有数呢，以后我们会学习到。

师：除了这样的摆法，还可以把11～20各数摆放在1～10的下面，你有像这样的发现吗？

生5：我发现1的下面正好是11，2的下面就是12，3的下面就是13。

生6：是的，下面的数都比上面的数多了1个十。

师：那19的下面可能是谁呢？

生7：29。

师：是的，这样的排法也很有趣，我们把它称为百数表，一年级下学期的时候我们就会学习它。

思考：感悟数的联系，在合作探究中实现知识系统化

能辨别数字之间的联系，也是数感的一种表现。数字关系指“数之间的位置关系”，这种位置关系体现了数的相对大小关系和运算关系。在自然数中，数与数之间的关系、数组与数组之间的关系都是学生学习数的概念的重要方面。在这节课的后半部分，我引导学生将1～10和11～20建立联系。学生很自然产生了两种设想：一种是将今天学习的数接在10后面，这是数轴的雏形，这时就能引出20后面更大的自然数，0的前面的负数也出来了，而课前介绍的“13.8”也得到了完美的阐释——它的位置在13和14中间，学生甚至能借助生活经验判断出13.8更接近14；另一种是将11～20排在1～10的下面，这是百数表的雏形，学生在这种模型中能发现：前面的数都比后面的数小1，而下面的数都比上面的数大10。在这样的合作探究中，实现了知识的结构化和板块化。

【片段四】体验估计，增强对数的敏感性

师：看来大家对20以内的数已经很熟悉了，考考你们的眼力——能不能快速看出草莓的数量？

（课件快速出示草莓，然后隐去）

生1：大概13个。

生2：大概15个。

生3：大概10个。

师：到底是多少呢？咱们边画记号边数一数。

师：咱们记住10个这种感觉，现在有多少？和10个比呢？和20个比呢？咱们能感觉到草莓的数量在10～20之间。这种快速看出大概是多少的过程就叫作“估”了。一般我们会估一个范围。范围越小就估得越精确。

……

思考：掌握估的方法，在估数活动中增强敏感性

“估”这样一个活动更多地指向了个性化的经验，但“估”肯定不是无方法、无头绪的乱猜，“估”应该是介于推理和猜测之间的一种心理活动，学生充分借助已有的经验，将被估计的事物与已有的数学模型或者经验进行对比，在不断地尝试、验证、反思中逐步走向精准。因此，在估草莓的活动中，我采用了短时判断的方法，让学生在不断地看、数中加强交流和对比，突出了“10个”这样的基础模型，让学生判断“比1个十多吗？”“比2个十多吗？”，强化了估的策略和方法，增强了学生对数量的敏感性，使“估”有法可依，在比较和验证中形成良好的数感。

数的概念的建立在最初的时候更多地需要经验的积累、依靠生活的体验，但是到达一定程度之后，需要教师有意识地引领学生去理性的思考，让学生在交流和反思中进一步完善自己的认识，形成正确的观念。

繁华落尽，方显本色——三振旗鼓

第二次尝试，让我收获了不少掌声，教研员张齐华教师说这节课充满了生长的力量，看到了学生的无限可能。小教培训中心的陈静教师说课堂理念新，灵活又扎实。确实，学生的表现很精彩，可是，静下心来思考，我总是隐隐有一丝不安。三周后，我又迎来了一次展示机会……

我再次认真思考，很快就找到了自己不安的原因：“11～20各数的认识”这一节课到底要教什么呢？毫无疑问——十进制。在第一次教学的时候我就已经找到了答案，但却始终没有办法在课堂上交出一份自己满意的答卷，总有单薄之感。第二次尝试，立足于数的概念，一道汤放入了太多调料，看似厚重了，却迷失了本真。立足于“十进制”，这节课到底能怎样“走”呢？慢慢地，我终于找到了答案——让“10个一”在学生手里真正变成“1个十”。

抛去了各种纷繁复杂的环节，这堂课变得非常简洁，在学生的讨论中显现了数学课原本应有的样子。

同样是从生活中的数引入，学生分享完之后，我抓出一小把小棒，随意地摆在桌上，“估一估，这里有多少根小棒啊？”学生估了个大概，自然不准确，数一数来验证就有了必要，自然引出“怎么摆才能看得清呢？”在学生给出多种方法后，我并不急于“收场”，而是让学生讲述自己的思考方法，学生给出的方法虽然不同，但是都想到了“合并”：有“6 个”一合的，有“5 个”一合的，有“10个”一合的，也初步感受“10个一合成1个十”后在读法上“顺口”，在写法上“顺手”。我紧接着提出“怎样摆13根小棒就能一眼看出是13？14根呢？15根？”在多次尝试后，“10个一合成1个十”的好处越来越明显，于是，“10个一变成1个十”就从多种方法里“浮现”出来，“十进制”的好处跃然纸上，“发现之旅”饱满而充实。

一节课就这样完成了，看似第二次尝试中的亮点都失去了，但是，没有了教师的“亮相”，却多了学生扎实的“生长”。到了这里，我终于感到心安了。三次探索，可谓一咏三叹。从简朴但浅薄，到看似盛世繁华却迷失本质，最终繁华落尽，水落石出。我真正感受到数学课堂要特别关注学生的主体参与，要在探究、反思、动手、发现中去粗取精，去伪存真，由表及里，化繁为简，要在“简”中悟“大道”，让知识慢慢“长”出来。