在信息技术支持下推动APOS理论走进课堂

赵宇宁

（海伦市第一中学 黑龙江海伦 152300）

一、概念教学设计

APOS理论最早为美国数学家、教育家杜宾斯基等人在研究个体解决数学问题过程中提出，认为这一过程实际上即是知识形成的建构过程。在这一过程中将数学概念的建立分为四个阶段：活动、过程、对象和图式阶段。[1]

本文以高中人教A版教材必修五第三章第三小节二元一次不等式（组）所表示的平面区域一节作为教学示范案例，探讨如何在实际教学中利用APOS操作理论指导实践，建立数学概念的基本模型。

二、基于APOS理论的具体案例设计

1．活动、过程、对象有机整合

现代信息技术的快速发展，使得学生亲自进行动手操作实验变得可能，学生自己参与进去，既可以直观的进行观察、探索和思考，又可以感受到数学的无穷魅力，能够在很大程度上激发出学生学习数学的热情。而教师在这过程中应从传统的讲授演示转变为主导和参与，充分发挥出学生的主体总用，因此笔者采用了探究活动的形式，让学生在小组合作与交流中感受数学。[2]

探究活动1

问题1：点B在直线上运动，则B的坐标满足何种条件:？该条件又能说明点B具有什么特点？

学生观看点B的动画，观察B点横纵坐标刚好满足x+y+3=0，得出点B坐标的特点，进而思考点的坐标与方程之间的关系得出点在直线上则点的坐标满足方程，以方程的解为坐标的点都在直线上，得出直线与方程的对应关系，实质上说明几何图形与代数方程的对应关系。[3]

探究活动2

问题2：点B的坐标能让x+y+3成为一个等式，等式的方程与直线又是一种对应关系，那么不等式是否也有对应关系呢？任意点A的坐标与不等式x+y+3＞0（x+y+3＜0）的关系又是怎样的呢？

学生经过观察后发现，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y+3=0分成三类：即在直线x+y+3=0上：直线右上方平面区域，直线左下方平面区域。此时教师让学生尝试一下完成表1.1，点B（x，y1）是直线上的点，选取点A（x，y2），使它的坐标满足不等式x+y+3＞0，让学生思考满足条件的点的坐标有什么要求。

表1

学生填完表后猜想以x+y+3＞0的解为坐标的点都在直线x+y+3=0的右上方

此时教师让学生画板演示A点在直线右上方运动时，让学生观察A点横纵坐标变化使得式子x+y+3的值发生的变化并总结结论。

进一步让学生思考任意点A的坐标与不等式x+y+3＜0的关系，得到A点横纵坐标变化使得式子x+y+3的值发生变化但总是小于0的。点出以x+y+3＜0的解为坐标的点都在直线x+y+3=0的左下方。学生经过观察、分析、动手操作后就能得出结论：同侧的点能让x+y+3符号相同，不同侧的点能让x+y+3符号相反。

进而让学生探究对于任意直线Ax+By+C=0是否存在同样的结论。为了解决这个问题，首先需要让学生了解决参数对问题的影响。学生就斜率是否存在开始探讨，发现不论斜率是否存在，对于结论“直线Ax+By+C=0同侧的点会让式子Ax+By+C同号；直线Ax+By+C=0不同侧的点会让式子Ax+By+C符号相反”不产生影响，同理参数B、C也是如此。

经历上述活动学生已经明确二元一次不等式（组）所表达的几何意义是具有某种特征的点的集合即可行域，可以让学生探究、总结确定可行域的一般方法。

⑴建立直角坐标系，精确作出边界直线（严格不等式画为虚线，非严格不等式画为实线）。

⑵用特殊点探测二元一次不等式Ax+By+C＞0（Ax+By+C＜0）所表示的区域，用阴影部分标出。此时教师就可以用一句口诀总结加深学生印象：直线定界，特殊点定域。还可以让学生总结特殊点的取法技巧，直线不过原点时，就取原点试探。

学生对于A、B三个参数对可行域的确定进行探究，得出结论，可以单独依靠参数A、B、C的正负来判断可行域。[4]

2.“心理图式”有机形成

在经历活动、过程、对象等问题的整合之后，个体对数学概念的“心理图式”就已基本形成，运用这个“心理图式”来解决相关问题，反过来又能促进“心理图式”框架的清晰。对于本案例，学生的难点主要在如何发现变量x，y的几何表征意义，进而发现平面区域与不等式（组）的对应关系，这里需要学生运用到数形结合思想，并对问题的实质有深入的把握，完成“心理图式”过程。考虑到学生的知识水平和消化能力，可借助信息技术支持，多种表示手段，从激励学生探究入手，建立合理的情境，引入恰当的变式，使学生可以从多元化角度仅进行理解，逐层加深对概念的理解，方便记忆与应用，

笔者认为APOS理论是一种十分有益于培养学生探究问题的手段和方法，四个阶段不可分割、互相促进、互相交融、有机的结合为一个整体，结合着现代信息技术成为一个当下十分值得研究的课题，具有很重要的实践指导意义，若教师运用得当，将会为学生带来无限的惊喜和巨大的帮助。

[1]王旭媚.信息技术与数学学科教学整合的尝试与思考[J].数学教育学报，2004,13(2): 97.

[2]敖玉剪.几何画板在线性规划课程教学中的应用[J].数学教学与研究，2011,(53): 78.

[3]张国治,杜娟.速定二元一次不等式表示的平面区域[J].数学通讯，2006(21): 29.

[4]王波.用几何画板软件描述平面区域上的动点[J].中国学术期刊，2011(05): 174.