在结构中感受数学整体性*——以“一元二次方程（一）”教学为例

一、问题的提出

在常规的初中数学教学中，人们对每个知识点，采用的是按课时进行教学，最后通过复习课对前面的一个学习过程进行统整，即遵循“个体—部分—整体”的逻辑。例如，学习人教版数学九年级上册“一元二次方程”时，按照常规的教学设计，一般会将一元二次方程的各种基本解法依次进行学、练，最后是各种基本解法的综合。这是先让学生学习“个体”，而后到“部分”，最后到“整体”的方法。

这种教学的优点是将教学难点分解，利于学生逐个掌握、逐步提高。但是这种教学的弊端是显而易见的，即学生难以自主地打通这些“孤立”的知识点之间的联系，每一个知识点都是碎片化状态，难于理解、掌握和运用。

二、在结构中感受数学的整体性

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。这就要求学生把数学学习视为一个整体，从知识、能力、思维等方面进行整体把握，从而促使学生得以整体提高、全面发展。

例如，在教学“一元二次方程（一）”时，许多教师设立的学习目标是这样的：（1）理解并掌握一元二次方程的定义；（2）理解并掌握一元二次方程的一般表达式。学习重点是一元二次方程的定义，学习难点是一元二次方程的各项及其系数的区别。显然这样的学习目标是不确切、不全面的，而且将“一元二次方程的定义等相关概念”脱离在“一元二次方程”这个整体之外。

2017年11月，笔者执教了“一元二次方程（一）”的展示课。考虑到“知识的结构和体系”“局部知识与整体知识的关系”“感受数学的整体性”等教学要点，笔者采用了反常规的教学方法：引导学生类比于一次方程（一元一次方程、二元一次方程），自主进行迁移并获得一元二次方程的定义及一般形式；根据一元二次方程4种解法的基本思想及相互之间的联系，引领学生自主探究各种解法，并建立各种解法的体系框架（即先形成“整体”知识，后面再让学生自主而深入地研究知识整体的各个“个体”或“局部”）；采用单元教学的方式，重组教学内容，达到了较好的教学效果。本节课笔者拟定的教学目标为：（1）在具体情境中自主建构一元二次方程的定义、一般表达式等；（2）自主探索解一元二次方程的思想方法和理论依据，建构4种解法的知识基础及相互联系。

具体教学设计如下。

环节一：问题解决，自觉迁移。

1.提问：（1）如何用一张长方形硬纸片做成一个没有盖的长方体盒子？（2）如果硬纸片长16厘米，宽12厘米，如何做成一个底面积为96平方厘米的没有盖的长方体盒子？

全班交流，列方程求解：设截去的小正方形的边长为x厘米。由题意，得（16-2x）（12-2x）＝96，整理后，得 x2-14x+24＝0。

追问：（1）这是什么方程？（2）你是根据学什么知识的经验来命名和定义的？

（设计意图：将方程整理成一般形式，便于学生自觉给新方程命名和定义。事实上，学生都能由学习一次方程的经验，仿照地将新方程命名为“一元二次方程”。这里也为学生初步了解一元二次方程的4种解法及解决实际问题打下伏笔。）

环节二：类比迁移，自主概括。

1.提问：为什么把方程x2-14x+24=0叫作一元二次方程？什么样的方程叫作一元二次方程？它的一般形式是怎样的？

2.练习：（1）下列关于x的方程是不是一元二次方程？说明判断根据。

（2）将下列方程化成一元二次方程的一般形式后，说出各项及其系数。

教学方式：让学生先独立思考，然后在小组里交流（你是怎么判断的？判断的依据是什么？），最后全班交流。

（设计意图：突出一元二次方程的一般形式中的条件“a≠0”，强化学生对一元二次方程的定义的认识。）

环节三：自主探究，自觉生成。

1.思考：根据已有经验，解一元二次方程的基本思路是怎样的？

2.研究解法：求方程①x2-4＝0的解。

方法一：由 x2-4＝0 得 x2＝4，∴x＝±2，即 x1＝2，x2＝-2。（解法名称：直接开平方法）

追问：（1）方程 x2+4＝0怎么求解？方程（x-1）2＝4 呢？（2）可以用直接开平方法来解的一元二次方程有何条件？

说明：所举的例子旨在向学生说明，能用直接开平方法解的一元二次方程一定能变形为“等号的左边是完全平方式，等号的右边是一个非负数”的形式。

方法二：由 x2-4＝0 得（x+2）（x-2）＝0，∴x+2＝0 或 x-2＝0 ∴x1＝-2，x2＝2。（解法名称：因式分解法）

追问：根据因式分解的知识来解方程的依据是什么？

3.小组研究：求方程②3x2-5x＝0和方程③x2-2x-15＝0的解法。

追问：（1）如何用直接开平方法来解方程x2-2x-15＝0？

（2）类比一元一次方程的一般形式ax+b=0（a≠0）的解的表示，用配方法可以解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），若有解，那么它的解用什么来表示？

（设计意图：把方程③变形为左边是一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法求出方程的解，由此引出配方法。用配方法来解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），若有解，那么它的解是用含系数a、b、c的式子来表示的，这就是一元二次方程的求根公式，以后直接用这个公式来求一元二次方程的解，由此得到第4种解法——“公式法”。）

4.学生自主求出做无盖盒子需要在四个角截去的相同的小正方形的边长。

（设计意图：根据四种解法的知识基础和四种解法之间的相互联系，探讨了一元二次方程的四种基本解法。突出了本节课的教学重点——建立解方程的基本思想、具体方法和理论依据的知识体系框架；突破了教学难点——用配方法解一元二次方程。充分地发挥和发展学生的主体创造性。）

环节四：共同回顾，总结提升。

引导学生围绕问题思考交流：（1）我们是如何得到一元二次方程及其解法的？（2）在学习的过程中体会到哪些重要的学习方法或经验？

师生共同总结：（1）完善板书如下：

（2）对每个新知，要学会观察现象，概括本质或规律，善于积极主动猜想、联想，用已有的知识经验去自主探究未知，从而把未知转化为已知。

三、对“学材再建构”的几点说明和思考

首先，所谓“学材”，简单地说就是学习材料，或者说是学习资源。狭义的“学材”是学生当前的数学学习所用到的一些直接相关的材料、资源，譬如教科书、教辅资料等；广义的“学材”是与学生当前的数学学习有关的一切材料（对数学教材文本之外其他学习资源的整合和重构）。课堂教学中，我们尤其要用好那些隐性学材（变化的、动态的、隐蔽的学习材料，如学生的学习态度、学习经验、师生关系等）。

其次，“学材再建构”由三个部分组成：一是教师独立地对学材进行建构；二是学生在教师的引导下独立地对学材进行建构；三是师生共同对学材进行建构。这三者合起来就是一个完整的学材再建构过程。“学材再建构”的本质就是将相关知识点纳入一个结构或框架中，使习得的知识结构化、能力结构化（结构性能力是指一种个体或组织的综合能力、整合能力，并且是结构性的、体系性的综合能力），其基本形式为一个教学环节的再建构、一课时的再建构、一个知识板块的再建构、一个单元的再建构、一周时间内学习内容的再建构等（本课例属于一个单元的再建构，即单元再建构）。不管哪种形式的再建构，都必须是与学生的学习基础和自学能力同步，与学生的知识体系、认知结构相匹配，与学生思维能力和思维品质的提升相呼应，与学生的学习兴趣和价值认同相吻合的。

最后，“学材再建构”必须从四个“顺应”入手。一是必须顺应知识本身的逻辑关系，如上文环节三中的几处追问，引导学生自主研究、合作交流，这样他们不仅掌握了配方法，而且自主建构了配方法与直接开平方法、公式法之间的逻辑联系。二是必须顺应学生原有的认知基础。学习一元二次方程，必须要知道学生已有的认知基础，引导学生在具体情境中自主建构一元二次方程的定义和一般形式等；根据学生解二元一次方程组的经验，帮助学生自主探索解一元二次方程的思想方法和理论依据，建构4种解法的知识基础及相互联系。三是必须顺应学生的“最近发展区”。根据学生已有的发展水平，引导学生利用知识和方法的迁移，自主猜想解一元二次方程的基本思路是变形转化为“x＝a”的形式。从而促成了学生自主探究，以旧引新，尽可能达到潜在的发展水平。四是必须顺应学生的学习兴趣，激发参与、激活思维。当学生对学习发生兴趣时，自然会主动想去学，从而逐渐学会，乃至会学；当学生会学时，自然会兴趣盎然，学习兴趣和积极性得到进一步激发。当然，如果通过努力，问题始终不能得到解决，兴趣就不能保持，自主发展就没有空间。

综上，“学材再建构”的结果就是引导学生自主接纳新认知并融入原有认知结构，在生生之间、师生之间深度交流激发火花，启迪思维，形成共识，产生创新成果。这就要求教师要从整体上把握和架构教材，合理重组教材内容，关注数学知识内容和知识结构的完整性，考虑数学教学过程中教和学的方法的完整性，引领学生“在结构之中感受数学的整体性”，“让学生所学的知识能够实现结构化”，从而真正促进学生的数学气质、素养和能力的整体提高。

［1］教育部.义务教育初中数学课程标准（2011 年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2011.

［2］李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例：学力是这样发展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［4］李庾南，祁国斌.自学·议论·引导：涵育学生核心素养的重要范式［J］.课程·教材·教法，2017（09）.

［5］施俊进，徐小建.例谈初中数学“学材再建构”的实施策略和原则［J］.数学教学通讯，2017（11）.

［6］施俊进.“学程单”：优化“学”的智慧选择——以“多边形的内角和”教学为例［J］.江苏教育：中学教学，2017（02）.

［7］施俊进.初中数学“学材再建构”研究初探［J］.学校管理，2016（06）.